MATEMANIJA

Prvi probni prijemni ispit FON (prva grupa) – 13. jun 2020.
20. zadatak

Broj svih resenja jednacine [inlmath]\sin x-\sin3x=\cos4x-\cos2x[/inlmath] na odsecku [inlmath][0,2\pi][/inlmath] jednak je:
Tacan odgovor je: [inlmath]E)\;8[/inlmath]

To je jednako:
[dispmath]-(\sin3x-\sin x)=\cos4x-\cos2x[/dispmath] Primenimo pravilo za transformaciju razlike u proizvod sa obe strane jednacine:
[dispmath]-2\cos2x\sin x=-2\sin3x\sin x\\
\cos2x\sin x-\sin3x\sin x=0\\
\sin x(\cos2x-\sin3x)=0[/dispmath] Tu je prvo resenje [inlmath]\sin x=0[/inlmath]

Dalje se nastavlja:
[dispmath]\cos2x-\sin3x=0\\
\cos^2x-\sin^2x-3\sin x+4\sin^3x\\
4\sin^3x-2\sin^2x-3\sin x+1=0[/dispmath] Uvedemo smenu [inlmath]t=\sin x[/inlmath]
[dispmath]4t^3-2t^2-3t+1=0[/dispmath] Pogodimo drugo resenje a to je [inlmath]t=1[/inlmath] a potom podelimo jednacinu sa [inlmath]t-1[/inlmath]

Dobija se:
[dispmath]4t^2+2t-1=0[/dispmath] Nakon resavanja kvadratne jednacine resenja su:
[dispmath]t=\frac{-1+\sqrt5}{4}\quad\text{i}\quad t=\frac{-1-\sqrt5}{4}[/dispmath] Moje pitanje je: Nakon uvrstavanja prva [inlmath]2[/inlmath] resenja u interval dobije se ukupno [inlmath]4[/inlmath] resenja, dok druga dva resenja ne mogu da pretvorim u radijane a samim tim ne mogu da ih uvrstim u interval. Gde gresim?

Ne moras da ih pretvaras u radijane. Vrednost [inlmath]\frac{-1+\sqrt5}{4}[/inlmath] iznosi priblizno [inlmath]0.3[/inlmath], pa ce na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath] postojati dva ugla (jedan u prvom, a jedan u drugom kvadrantu) ciji sinus iznosi (priblizno) [inlmath]0.3[/inlmath]. Tacnu vrednost ugla ne mozes odrediti, a to ti ni ne treba jer se trazi "samo" broj resenja. Da se u zadatku trazi zbir resenja na zadatom intervalu onda bi bila druga prica.
Slicno i za [inlmath]\sin x=\frac{-1-\sqrt5}{4}[/inlmath].

Izvinite, zbunjuje me ovaj korak:

bonko je napisao:[dispmath]\cos2x-\sin3x=0\\
\cos^2x-\sin^2x-3\sin x+4\sin^3x[/dispmath]

Šta se ovde dešava sa [inlmath]\sin3x[/inlmath]? Ne prepoznajem nikakvu formulu

[dispmath]\sin3x=\sin(x+2x)=[/dispmath][dispmath]\sin x\cos2x+\sin2x\cos x=[/dispmath][dispmath]\sin x\left(\cos^2x-\sin^2x\right)+2\sin x\cos^2x=[/dispmath][dispmath]\sin x\left(1- 2\sin^2x\right)+2\sin x\left(1-\sin^2x\right)=[/dispmath][dispmath]\sin x-2\sin^3x+2\sin x-2\sin^3x=[/dispmath][dispmath]3\sin x-4\sin^3x[/dispmath]

Poz!

Znam da je obradjen zadatak vec ali i dalje ne mogu da provalim gde gresim. Zadatak:

Broj svih rešenja jednačine [inlmath]\sin x-\sin3x=\cos4x-\cos2x[/inlmath] na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath] je: [inlmath]8[/inlmath].

Evo ga moj postupak:
[dispmath]\sin x-\sin3x=\cos4x-\cos2x\\
-2\cos2x\sin x=-2\sin3x\sin x\\
\sin x(\cos2x-\sin3x)=0[/dispmath] Iz ovoga imam [inlmath]\sin x=0[/inlmath]. Nastavak:
[dispmath]\cos2x-\sin3x=0\\
\cos2x=\sin3x[/dispmath] Preko formule za polovinu ugla:
[dispmath]1+\cos4x=1-\cos6x[/dispmath] Iz zbira u proizvod:
[dispmath]2\cos5x\cos x=0[/dispmath] I sad iz ovih resenja kad pokusavam da odredim koliko ih imam na intervalu, dobijam ih mnogo vise nego sto ih u stvari ima - [inlmath]\pi,2\pi,\frac{\pi}{10},\frac{3\pi}{10},\frac{5\pi}{10},\frac{7\pi}{10},\frac{9\pi}{10},\frac{11\pi}{10},\frac{13\pi}{10},\frac{15\pi}{10},\frac{17\pi}{10},\frac{19\pi}{10}[/inlmath]

Gde bi mogla biti greska?

Pogledaj ovu temu, tu sam objasnio kako se proverava svako rešenje kao i koliko rešenja ima u određenom intervalu.

Evo kako to izgleda prateci tvoj postupak:

Uzmem prvo resenje - [inlmath]\sin x=0[/inlmath], tj. [inlmath]x=k\pi[/inlmath]. Kad uzmem u obzir interval, dobijam da [inlmath]k[/inlmath] pripada intervalu [inlmath][0,2][/inlmath]. Drugim recima, [inlmath]k[/inlmath] moze biti samo [inlmath]0,1,2[/inlmath].

Primenivsi ovo u ostalim jednakostima [inlmath]\cos x=0[/inlmath], [inlmath]\cos5x=0[/inlmath], dobijam sledeca resenja:
[dispmath]0,\pi,2\pi,\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{\pi}{10},\frac{3\pi}{10},\frac{7\pi}{10}[/dispmath] Ovo samim tim i jeste tacan broj resenja.

Podpitanje - da li ovaj tvoj uslov vazi svuda? Kako znamo koju vrednost [inlmath]x[/inlmath] da upotrebimo za ovaj uslov?

Hvala na svemu!

buca je napisao:Podpitanje - da li ovaj tvoj uslov vazi svuda?

Da, kada pričamo o trig. jednačinama (vrvt može i za n-jne ali tu sam potanak, tako da za taj deo ne mogu sa sigurnošću potvrditi). Do sada, u svim probnim/pravim prijemnima sa FON-a i drugih fakulteta ovaj postupak me nikad nije izneverio (za trig. j-ne), samo ga treba savladati dobro i to je to.

buca je napisao:Kako znamo koju vrednost [inlmath]x[/inlmath] da upotrebimo za ovaj uslov?

Za bilo koju vrednost, bilo to [inlmath]x=\frac{\pi }{6}[/inlmath], [inlmath]\frac{3\pi }{8}[/inlmath] i sl.

buca je napisao:Gde bi mogla biti greska?

Ovde:

buca je napisao:[dispmath]\cos2x=\sin3x[/dispmath] Preko formule za polovinu ugla:
[dispmath]1+\cos4x=1-\cos6x[/dispmath]

Formule za polovinu ugla glase [inlmath]\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}[/inlmath] i [inlmath]\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}[/inlmath] (obrati pažnju na kvadrate na levim stranama). Ti ovde nisi imao [inlmath]\cos^22x=\sin^23x[/inlmath] da bi mogao primeniti polovinu ugla, već si imao [inlmath]\cos2x=\sin3x[/inlmath]. A ne smeju se tek tako kvadrirati obe strane bez diskutovanja predznaka, jer bi tako npr. od [inlmath]\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}[/inlmath] (jednakost koja je netačna) mogao dobiti [inlmath]\frac{1}{4}=\frac{1}{4}[/inlmath] (jednakost koja je odjednom postala tačna). Otuda višak rešenja.

Ako, recimo, uvrstiš rešenje [inlmath]x=\frac{7\pi}{10}[/inlmath] u korak [inlmath]\cos2x=\sin3x[/inlmath], videćeš da jednačina nije zadovoljena (leva i desna strana su jednake po apsolutnoj vrednosti ali se razlikuju po predznaku), što znači da [inlmath]x=\frac{7\pi}{10}[/inlmath] ne predstavlja rešenje polazne jednačine. Međutim, ako [inlmath]x=\frac{7\pi}{10}[/inlmath] uvrstiš u naredni korak, nakon (pogrešne) primene polovine ugla, [inlmath]1+\cos4x=1-\cos6x[/inlmath], tada će ta jednačina biti zadovoljena. Dakle, [inlmath]x=\frac{7\pi}{10}[/inlmath] je jedno od rešenja koja su ti višak, a koja su se pojavila zbog pogrešne primene polovine ugla.

I, molim te, kad već postoji neka tema za neki određeni zadatak, nemoj za taj isti zadatak otvarati novu temu, već pitanje postavi u postojećoj.

Vidim sad gde sam pogresio. Hvala ti!

Izvini za gresku vezanu za temu.