MATEMANIJA

Pozdrav,
Opet ja haha
Zapeo sam kod jedne trigonometrijske jednačine koja glasi;
[dispmath]1-\sin 2x=\cos x-\sin x[/dispmath] na intervalu [inlmath]\left[0,2\pi\right][/inlmath]
Problem je nastao kod intervala ali prvo da pokažem kako sam je rešavao;
Prvo sam iskoristio identitet da je [inlmath]1-\sin 2x=\left(\cos x-\sin x\right)^2[/inlmath]
Iz čega se dobija sledeće;
[dispmath]\left(\cos x-\sin x\right)^2-\left(\cos x-\sin x\right)=0[/dispmath] Nakon toga sam faktorisao; [inlmath]\left(\cos x-\sin x\right)\left(\cos x-\sin x-1\right)=0[/inlmath]

Prvi slučaj je da je [inlmath]\cos x-\sin x=0[/inlmath], iz čega se dobija da je[inlmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath] i to je jedno rešenje.

2. Slučaj je da je [inlmath]\cos x-\sin x=1[/inlmath]
Pošto je zbir [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] veći od [inlmath]1[/inlmath], dobija se da je njihov zbir [inlmath]\sqrt2[/inlmath], i sa tim množimo i levu i desnu stranu, tj. kad se racionališe [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath]
Iz toga se dobija adiciona formula i to;
[dispmath]\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath] Iz ovoga imamo dva slučaja;
Prvi je da je [inlmath]x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi[/inlmath] tj. [inlmath]x=2k\pi[/inlmath]

A drugi slučaj je da je [inlmath]x+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}+2k\pi[/inlmath] tj. da je [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/inlmath]

E sad, po ovome što sam ja radio, mislio sam da ova jednačina na tom intervalu ima [inlmath]3[/inlmath] rešenja, a zapravo ima [inlmath]5[/inlmath].
Posle kada sam pogledao zašto je to tako video sam da su za svako rešenje ubacivali [inlmath]k=0,1,\ldots[/inlmath]. Taj deo me i buni.
Zbog čega kod intervala tipa [inlmath]\left[0,2\pi\right][/inlmath], [inlmath]\left[-\pi,\pi\right][/inlmath] ubacujemo [inlmath]k[/inlmath], kad se na osnovu slike može videti koliko neka j-na rešenja ima. Druga priča je kad je dat interval npr [inlmath]\left[-\frac{8\pi}{3},\frac{8\pi}{3}\right][/inlmath] gde mora da se [inlmath]k[/inlmath] ubacuje, ali ne razumem zbog čega se ono koristi kod gore navedenih intervala.
Hvala unapred na izdvojenom vremenu!

Acim je napisao:Prvi slučaj je da je [inlmath]\cos x-\sin x=0[/inlmath], iz čega se dobija da je[inlmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath] i to je jedno rešenje.

Ovde je greška. Iz [inlmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath] dobijaju se dva rešenja na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath] a to su [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath] ([inlmath]I[/inlmath] kvadrant) i [inlmath]\frac{5\pi}{4}[/inlmath] ([inlmath]III[/inlmath] kvadrant).

Acim je napisao:Prvi je da je [inlmath]x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi[/inlmath] tj. [inlmath]x=2k\pi[/inlmath]

Odavde se dobijaju takodje dva rešenja na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath], a to su [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]2\pi[/inlmath].

Acim je napisao:A drugi slučaj je da je [inlmath]x+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}+2k\pi[/inlmath] tj. da je [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/inlmath]

Odavde se dobija jedno rešenje na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath], [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath].
Dakle, rešenja početne jednačine su [inlmath]\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4},0,2\pi,\frac{3\pi}{2}[/inlmath]. Prema tome, ukupan broj rešenja jednačine [inlmath]1-\sin2x=\cos x-\sin x[/inlmath] na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath] je [inlmath]\enclose{box}{5}[/inlmath].
U ispravnost rešenja možeš se uveriti uvrštavanjem istih u početnu jednačinu. Npr, uzmimo [inlmath]x=\frac{\pi}{4}[/inlmath]:
[dispmath]1-\sin2\cdot\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{4}\\
1-1=\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\\
0=0[/dispmath]
Slično i za ostale vrednosti [inlmath]x[/inlmath]-a.

---

Acim je napisao:Zbog čega kod intervala tipa [inlmath]\left[0,2\pi\right][/inlmath], [inlmath]\left[-\pi,\pi\right][/inlmath] ubacujemo [inlmath]k[/inlmath], kad se na osnovu slike može videti koliko neka j-na rešenja ima. Druga priča je kad je dat interval npr [inlmath]\left[-\frac{8\pi}{3},\frac{8\pi}{3}\right][/inlmath] gde mora da se [inlmath]k[/inlmath] ubacuje, ali ne razumem zbog čega se ono koristi kod gore navedenih intervala.

Ovaj deo nisam najbolje razumeo, pa ako možeš malo preciznije formuliši ono što te buni.

Frank je napisao:Odavde se dobijaju takodje dva rešenja na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath], a to su [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]2\pi[/inlmath].

Time si mi i odgovorio na poslednje pitanje, pošto vidim da si definitivno ubacivao [inlmath]k[/inlmath] i tako dobio [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]2\pi[/inlmath].
Znači i kod intervala [inlmath]\left[0,2\pi\right],\left[0,\pi\right][/inlmath] treba ubacivati vrednosti za [inlmath]k[/inlmath] ([inlmath]-1,0,1,\ldots[/inlmath]) bez obzira što se sa njih rešenja mogu videti sa kruga?

Uzmimo jedan od skupova rešenja jednačine, na primer, [inlmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath]. Broj rešenja na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath] (ili bilo kojem drugom intervalu) određujemo na sledeći način:
[dispmath]0\le\frac{\pi}{4}+k\pi\le2\pi\quad\Large{:\pi}\\
0\le\frac{1}{4}+k\le2\\
-\frac{1}{4}\le k\le\frac{7}{4}[/dispmath] Pošto [inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath] zaključujemo, da [inlmath]k=0[/inlmath] ili [inlmath]k=1[/inlmath]. Za [inlmath]k=0[/inlmath] imamo
[dispmath]x=\frac{\pi}{4}+0\cdot\pi=\frac{\pi}{4}[/dispmath] Za [inlmath]k=1[/inlmath] imamo
[dispmath]x=\frac{\pi}{4}+1\cdot\pi=\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}[/dispmath] Tebi ostavljam da uradiš za [inlmath]x=2k\pi[/inlmath] i za [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/inlmath].
Kad god se traži broj rešenja na nekom intervalu primenjuješ ovaj postupak.

Sada mi je jasno.
Hvala puno na izdvojenom vremenu i odgovoru!

Acim je napisao:A drugi slučaj je da je [inlmath]x+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}+2k\pi[/inlmath] tj. da je [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/inlmath]

Isprobao sam i drugi način a to je da ubacim vrednost [inlmath]-\frac{\pi}{4}[/inlmath] čisto da vidim da li se dobija isto. I dobio sam 2 rešenja a ne jedno, ali s obzirom da je interval [inlmath]\left[0,2\pi\right][/inlmath] pretpostavljam da se gledaju samo pozitivni uglovi? Da je bio interval [inlmath]\left[-\pi ,\pi\right][/inlmath], verovatno bi se važilo ovo drugo rešenje koje sam napisao?
Po mome je ispalo ovako;
[dispmath]0\le\frac{-\pi}{2}+2k\pi\le2\pi[/dispmath] Kada se podeli sa [inlmath]\pi[/inlmath];
[inlmath]0\le\frac{-1}{2}+2k\le2[/inlmath]
Iz čega sledi da je [inlmath]k\ge\frac{1}{4}[/inlmath] ili da je [inlmath]k\le\frac{5}{4}[/inlmath]
Iz ovoga vidimo da nam [inlmath]k[/inlmath] može biti i [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]
[inlmath]k=0[/inlmath], [inlmath]x=-\frac{\pi}{2}[/inlmath], [inlmath]k=1[/inlmath], [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}[/inlmath]
S tim da bi se rešenje za [inlmath]k=1[/inlmath] prihvatilo jer je pozitivno, a ovo drugo bi odbacili zato što je negativan ugao, a traženi interval pozitivan?

Acim je napisao:Iz čega sledi da je [inlmath]k\ge\frac{1}{4}[/inlmath] ili da je [inlmath]k\le\frac{5}{4}[/inlmath]
Iz ovoga vidimo da nam [inlmath]k[/inlmath] može biti i [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]

[inlmath]k[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left[\frac{1}{4},\frac{5}{4}\right][/inlmath], pa [inlmath]k[/inlmath] može biti samo [inlmath]1[/inlmath]. Nema nikakvog odbacivanja rešenja.

Izgleda da sam naišao na još jedan propust kad je o matematici reč.
Zbog čega [inlmath]0[/inlmath] ne spada u rešenja [inlmath]k[/inlmath] pošto je broj [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath] najbliži [inlmath]0[/inlmath]?
Iz nekog razloga sam umislio da će [inlmath]k[/inlmath] biti jednak [inlmath]0[/inlmath] bio on [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath] ili [inlmath]-\frac{1}{4}[/inlmath]...

Zaista ne uspevam da pohvatam ono što tebe buni. Sve što treba da uradiš je da odrediš cele brojeve iz intervala [inlmath]\left[\frac{1}{4},\frac{5}{4}\right][/inlmath]. Jedini takav broj je [inlmath]1[/inlmath].
Ne postoji broj najbliži jedinici. Koji god broj blizak jedinici da uzmeš uvek će postojati bliži. Ne vidim kakve to veze ima sa zadatkom iz ove teme...

Sad vidim šta sam napisao. Zbunih se bez razloga.
Hvala puno još jednom i izvinjavam se na ovakvim ispadima