MATEMANIJA

Pozdrav,
Imam pitanje u vezi jedne trig. jednačine iz fonove zbirke;
[dispmath]\sin^2x+\sin^22x=1[/dispmath] na intervalu [inlmath]\left(0,2\pi\right)[/inlmath]

Pre nego što navedem de sam "zapeo" da razložim kako sam je rešavao (rešavao sam samo jedan deo iz razloga što mi se nešto nije poklapalo)
[inlmath]1[/inlmath] sam zapisao kao [inlmath]\sin^2x+\cos^2x[/inlmath] i jednačina dobija oblik;
[dispmath]\sin^2x+\sin^22x=\sin^2x+\cos^2x[/dispmath] [inlmath]\sin^22x[/inlmath] sam zapisao kao [inlmath]\left(2\sin x\cos x\right)^2[/inlmath]
Kada se jednačina sredi i faktoriše dobija se ovaj oblik;
[dispmath]\cos^2x\left(4\sin^2x-1\right)=0[/dispmath] Prva jednačina me je i zbunila tj. [inlmath]\cos^2x=0[/inlmath]
Rešenje je kada je za tu j-nu [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath]
E sad, pošto je zadat interval, radio sam kako mi je neko od članova pokazivao;
[dispmath]0<\frac{\pi}{2}+k\pi<2\pi[/dispmath] Kada se to podeli sa [inlmath]\pi[/inlmath] i reši dvostruka nejednačina dobija se da [inlmath]k[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)[/inlmath], a kako je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj, ispada da on pripada intervalu [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath], ali ne mogu koristiti nijednu od tih vrednosti jer je interval otvoren, a jednačina bi imala sigurno rešenje kada bi [inlmath]k[/inlmath] bilo [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath], pa mi nije jasno gde sam napravio propust.
Hvala unapred na izdvojenom vremenu za objašnjenje.

Pozdrav!

Acim je napisao:Kada se to podeli sa [inlmath]\pi[/inlmath] i reši dvostruka nejednačina dobija se da [inlmath]k[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)[/inlmath], a kako je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj, ispada da on pripada intervalu [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath]

Ovde si se zbunio. [inlmath]k[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)[/inlmath] (kako si i sam dobio). Pošto [inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath] zaključujemo da [inlmath]k[/inlmath] može biti [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], tj. [inlmath]k=\{0,1\}[/inlmath] (a ne [inlmath](0,1)[/inlmath], kako si ti napisao). Budi oprezan kada koristiš zagrade, tj. koju vrstu zagrada koristiš, upravo su te one zbunile u ovom zadatku.
Oble zagrade koristimo pri zapisivanju intervala (i to otvorenih), a vitičaste kada nabrajamo elemente nekog skupa.

To sam i ja na prvu loptu mislio, ali sam se onda setio primera sa fona 2019. godine trig. jednačine, kod koje se nisu uzimale vrednosti [inlmath]k[/inlmath] baš zbog te obične zagrade;
[dispmath]2\cos x\cos2x=\cos x-\frac{1}{2}[/dispmath] na intervalu [inlmath]\left[-\frac{8\pi}{9},\frac{8\pi}{9}\right)[/inlmath]
E sad, da skratim pošto treba samo da razjasnim interval. Bio je ovaj primer rešavan u jednoj temi, ali ne znam još uvek kako da linkujem pa da postavim ovde.
Uglavnom jedno rešenje je bilo [inlmath]x=\frac{2\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}[/inlmath]
I sad, po istom postupku se dobija (kad se podeli sa [inlmath]\pi[/inlmath]);
[dispmath]\frac{-8}{9}\le\frac{2+6k}{9}<\frac{8}{9}[/dispmath] Iz čega sledi da je [inlmath]k[/inlmath] u intervalu [inlmath]\left[\frac{-5}{3},1\right)[/inlmath]
Iz ovoga ispada da [inlmath]k[/inlmath] može da bude [inlmath]-1[/inlmath], [inlmath]0[/inlmath], ali ne i [inlmath]1[/inlmath] baš zbog obične zagrade a i kad se ta vrednost ubaci u početnu jednačinu vidimo da ne zadovoljava interval.
Pa me to i buni jer kod ove prethodne jednačine taj moj način ispostavio da je greška, dok kod ove navedene ispada da je moj način tačan.

Cela priča se svodi na sledeće:
U prvom zadatku (zadatak s početka teme) se traže celi brojevi u intervalu [inlmath]\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)[/inlmath], a to su [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. Prema tome [inlmath]k=\{0,1\}[/inlmath]
U drugom zadatku (zadatak iz prethodnog posta) se traže celi brojevi u intervalu [inlmath]\left[\frac{-5}{3},1\right)[/inlmath], a to su [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]0[/inlmath]. Prema tome [inlmath]k=\{-1,0\}[/inlmath]
Koji ti tačno deo nije jasan ovde? Slobodno reci, vrlo rado 'ću objasniti.

Konkretno me kod 1. zadatka buni što su bile svuda obične zagrade a opet smo uvažavali vrednosti za [inlmath]k[/inlmath] ([inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]), dok kod ovog drugog zadatka za vrednost [inlmath]k=1[/inlmath] nismo uvažavali iako je bila obična zagrada.

U prvom zadatku desna granica je [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath] ([inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath] ne uključujemo). [inlmath]1[/inlmath] je manje od [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath] i zbog toga [inlmath]k=1[/inlmath] je jedna od mogućnosti (druga mogućnost je [inlmath]k=0[/inlmath])
U drugom zadatku desna granica je [inlmath]1[/inlmath] ([inlmath]1[/inlmath] ne uključujemo), pa pošto [inlmath]1[/inlmath] nije manje od [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]k=1[/inlmath] nije jedna od mogućnosti.

Aćime, skrenuo bih ti pažnju da trigonometrijske funkcije u LaTex-u pišeš sa "backslash"-om. Dakle, \sin x, a ne sinx. Složićeš se da je [inlmath]\sin x[/inlmath] preglednije od [inlmath]sinx[/inlmath].

Što se tiče linkovanja tema unutar foruma, detaljno uputstvo imaš ovde.

Hvala puno na pomoći, sada mi je skroz jasno.

miletrans je napisao:Aćime, skrenuo bih ti pažnju da trigonometrijske funkcije u LaTex-u pišeš sa "backslash"-om. Dakle, \sin x, a ne sinx. Složićeš se da je [inlmath]\sin x[/inlmath] preglednije od [inlmath]sinx[/inlmath].

U redu.

Acim je napisao:dobija se da [inlmath]k[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)[/inlmath], a kako je [inlmath]k[/inlmath] ceo broj, ispada da on pripada intervalu [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath], ali ne mogu koristiti nijednu od tih vrednosti jer je interval otvoren,

Acim je napisao:Konkretno me kod 1. zadatka buni što su bile svuda obične zagrade a opet smo uvažavali vrednosti za [inlmath]k[/inlmath] ([inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]), dok kod ovog drugog zadatka za vrednost [inlmath]k=1[/inlmath] nismo uvažavali iako je bila obična zagrada.

Mada ti je Frank ovo fino objasnio, dodao bih i da bi trebalo da ovakve intervale u glavi vizualizuješ, ili na papiru skiciraš, tako što ih predstaviš na brojevnoj pravoj.
Ako na brojevnoj pravoj predstaviš posmatrani interval (konkretno, ovde [inlmath]\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)[/inlmath]), a zatim na istu brojevnu pravu na odgovarajuća mesta ucrtaš i cele brojeve, onda ćeš tačno sa skice videti koji se celi brojevi nalaze u pomenutom intervalu.

Frank je napisao:zaključujemo da [inlmath]k[/inlmath] može biti [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], tj. [inlmath]k=\{0,1\}[/inlmath] (a ne [inlmath](0,1)[/inlmath], kako si ti napisao).

Ovo [inlmath]k=\{0,1\}[/inlmath] moram da ispravim, budući da si i u narednim postovima ponovio ovakvo obeležavanje. Greška je u tome što [inlmath]\{0,1\}[/inlmath] po svojoj prirodi predstavlja skup (čiji su elementi [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]), i ako bismo između [inlmath]k[/inlmath] i tog skupa upotrebili znak jednakosti, ispalo bi da i [inlmath]k[/inlmath] predstavlja skup, što nije tačno. [inlmath]k[/inlmath] predstavlja neku vrednost iz tog skupa, i zbog toga je korektno pisati [inlmath]k\in\{0,1\}[/inlmath], a ne [inlmath]k=\{0,1\}[/inlmath].

Acim je napisao:[dispmath]2\cos x\cos2x=\cos x-\frac{1}{2}[/dispmath] na intervalu [inlmath]\left[-\frac{8\pi}{9},\frac{8\pi}{9}\right)[/inlmath]
E sad, da skratim pošto treba samo da razjasnim interval. Bio je ovaj primer rešavan u jednoj temi, ali ne znam još uvek kako da linkujem pa da postavim ovde.

Ako nekog bude zanimalo, u pitanju je ovaj zadatak.

---

Inače, drugi način za zadatak iz uvodnog posta bio bi da se upotrebi formula za sinus polovine ugla i da se sve izrazi preko ugla [inlmath]2x[/inlmath], to jest da se [inlmath]\sin^2x+\sin^22x=1[/inlmath] napiše kao [inlmath]\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos2x+\sin^22x=1[/inlmath], zatim se kvadrat sinusa izrazi preko kvadrata kosinusa i dobije se kvadratna po [inlmath]\cos2x[/inlmath]. Eto ko hoće da se malo zanima, može i taj način da isproba...