MATEMANIJA

Drugi probni prijemni ispit FON – 25. jun 2020.
18. zadatak

Broj svih rešenja jednačine [inlmath]1+2\sin x+\sqrt3\sin x\cos x=\cos^2x[/inlmath] na intervalu [inlmath](-\pi,2\pi][/inlmath] je [inlmath]5[/inlmath].

Kako bi se ovo moglo resiti? Ja sam probao i stigao do ovakve jednacine:
[dispmath]\sin^2x+2\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\sin 2x=0[/dispmath] Odavde ne znam kako.

Jedna od ideja je da iskoristiš identitet [inlmath]\sin2x=2\sin x\cos x[/inlmath] i potom faktoriši [inlmath]\sin x[/inlmath] ispred zagrade, pošto je zajedničko. Izvinjavam se što mi je post bez latexa, nije mi komp pri ruci, pa samo ispravite ako nije problem.

Kad izvuces [inlmath]\sin x[/inlmath], ono u zagradi svedi na adicionu formulu za sinus i dobices tacan rezultat.

Mozes li mi reci koja je adiciona formula u pitanju? U zagradi imam ovo pa me buni: [inlmath]2+\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x[/inlmath].

Dobije se: [inlmath]2+\sin x+\sqrt3\cos x[/inlmath]
[inlmath]=2+2\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=2+2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\cdots[/inlmath]

emi je napisao:[inlmath]= 2 +2( \frac{1}{2} \sin x +\frac{\sqrt3}{2}\cos x)= 2 + 2\sin (x + \frac{\pi}{\color{red}6})[/inlmath] ...

Treba da stoji [inlmath]2+2\sin\left(x+\frac{\pi}{\color{red}3}\right)[/inlmath].
(OK, možda je samo greška u kucanju, al' da ne bude zabune.)

Objašnjenje: [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] napišemo kao [inlmath]\cos\frac{\pi}{3}[/inlmath], a [inlmath]\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] napišemo kao [inlmath]\sin\frac{\pi}{3}[/inlmath], i onda se izraz svodi na [inlmath]2+2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\sin\frac{\pi}{3}\right)[/inlmath], zatim primenimo adicionu u obrnutom smeru [inlmath](\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)[/inlmath]) i to postaje [inlmath]2+2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)[/inlmath].

Mogli smo i drugačije – da [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] napišemo kao [inlmath]\sin\frac{\pi}{6}[/inlmath], a [inlmath]\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath] napišemo kao [inlmath]\cos\frac{\pi}{6}[/inlmath], i onda se izraz svodi na [inlmath]2+2\left(\sin x\sin\frac{\pi}{6}+\cos x\cos\frac{\pi}{6}\right)[/inlmath], zatim primenimo adicionu u obrnutom smeru [inlmath](\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)[/inlmath]) i to postaje [inlmath]2+2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)[/inlmath] – što je potpuno isto kao i [inlmath]2+2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)[/inlmath], samo drugačije zapisano.

Hvala puno. Znaci resenja su, na intervalu: [inlmath]0,\pi,2\pi,\frac{7\pi}{6},\frac{-5\pi}{6}[/inlmath]?

Tako je.