MATEMANIJA

Data je funkcija [inlmath]f(x)=\sin(\omega x+\varphi_1)\sin(\omega x+\varphi_2)[/inlmath], gde su [inlmath]\omega\ne0,\varphi_1,\varphi_2[/inlmath] konstante. Odrediti osnovni period funkcije [inlmath]f[/inlmath] i navesti za koje vrednosti funkcija [inlmath]f[/inlmath] dostize maksimum i minimum.

Resenje je [inlmath]T=\frac{\pi}{\left|\omega\right|}[/inlmath], [inlmath]f_\max=\frac{\pi-\varphi_1-\varphi_2+2k\pi}{2\omega}[/inlmath] i [inlmath]f_\min=\frac{-\varphi_1-\varphi_2+2k\pi}{2\omega}[/inlmath].

Znam kako se odredjuje period, minimum i maksimum funkcije.
Probala sam da transformisem proizvod u razliku i dobila sam izraz [inlmath]f(x)=\frac{1}{2}[\cos(\varphi_1-\varphi_2)-\cos(2\omega x+\varphi_1+\varphi_2)][/inlmath], ali ne znam sta dalje.

Obrati pažnju na transformisani oblik koji si dobila. Umanjenik je kosinus razlike [inlmath]\varphi_1-\varphi_2[/inlmath]. Pošto su i [inlmath]\varphi_1[/inlmath] i [inlmath]\varphi_2[/inlmath] konstante, kosinus ove razlike će obet biti konstanta. Drugim rečima, kakav treba da bude umanjilac da bi razlika bila što manja (ili što veća)? Kada dodamo činjenicu da kosinus u umanjiocu (kao i svaki drugi kosinus) mora da ima vrednost koja je u određenom intervalu, mislim da je stvar jasna.

Što se tiče perioda, opet iskoristi transformisani oblik. Opet je umanjenik konstanta koja ne utiče na period funkcije. Onda iskoristi definiciju periodične funkcije [inlmath]f(x)=f(x+t)[/inlmath] i ne bi trebalo da bude problema.