MATEMANIJA

Ako je [inlmath]\text{tg }\alpha=-\frac{3}{4}[/inlmath] i [inlmath]\alpha\in\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)[/inlmath], vrednost izraza [inlmath]10\cdot\sin\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)[/inlmath] je;
Tačan odgovor je [inlmath]4\sqrt3+3[/inlmath]

E sad, prvi problem je bio taj što nisam siguran na koji način da odredim ovakve vrste intervala u trigonometriji, kako bih samim tim posle znao da li je vrednost nekog ugla pozitivna/negativna.
Pored toga, kako znamo da je [inlmath]\text{tg }\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}[/inlmath], zamenom odgovarajućih vrednosti izrazio sam da mi je [inlmath]\sin\alpha=-\frac{3}{4}\cos\alpha[/inlmath]

Korišćenjem osnovnog trigonometrijskog identiteta [inlmath]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/inlmath]
Dobijam da mi je [inlmath]\cos\alpha=\pm\frac{4}{5}[/inlmath] što mi je opet sumnjiv rezultat.
Nisam siguran gde sam mogao kod poslednjeg dela napraviti lapsus, a pored toga, za interval takođe nisam siguran.
Hvala unapred na pomoći.

Po mom mišljenju, za zadatke u kojima je zadan ovakav interval, najsvrsishodnije je koristiti trigonometrijsku kružnicu. Pogotovu u slučajevima kao što je ovaj kada se interval poklapa sa kvadrantom. Odmah se vidi kog je znaka sinus, a kog kosinus, pa dalje šta treba. Kada sam bio gimnazijalac (davno beše), profesor matematike nas je na samom početku učenja trigonometrije "terao" da stalno crtamo trigonometrijsku kružnicu, i onda gledamo vrednosti i znake sinusa i kosinusa, svođenje na oštar ugao, relacije sinusa i kosinusa... Možda zbog toga koristim kružnicu kad god mogu, ali meni je tako najlakše.

Acim je napisao:Dobijam da mi je [inlmath]\cos\alpha=\pm\frac{4}{5}[/inlmath] što mi je opet sumnjiv rezultat.

Dobar je rezultat, teraj dalje. Sada, posmatrajući trigonometrijsku kružnicu onako kako ti je miletrans rekao, odrediš da li ide plus ili minus (tj. da li je kosinus u zadatom intervalu pozitivan ili negativan).
Nakon što si odredio sinus i kosinus (kao i njihove predznake), uvrstiš ih u adicionu formulu.
Inače, sviđa mi se ideja s osnovnim trigonometrijskim identitetom, baš je originalna. Naravno, mogao si koristiti i gotove formule za vezu (ko)sinusa i tangensa, [inlmath]\sin\alpha=\pm\frac{\text{tg }\alpha}{\sqrt{1+\text{tg}^2\alpha}}[/inlmath] i [inlmath]\cos\alpha=\pm\frac{1}{\sqrt{1+\text{tg}^2\alpha}}[/inlmath]. Koji god način da koristiš, isti se rezultat dobije, logično.

Slažem se za interval, na kružnici je lakše dosta. Utvrdio sam da mi je kosinus pozitivan [inlmath]\left(\frac{4}{5}\right)[/inlmath], dok mi je [inlmath]\sin\alpha=-\frac{3}{5}[/inlmath] (mislim da tu nije trebalo da određujem [inlmath]\pm[/inlmath], jer je sinus bio bez kvadrata i već je stajao znak [inlmath]-[/inlmath] ispred).
E sad, kako si tačno mislio da uvrstim dobijene rezultate u adicionu, pošto u tekstu zadatka piše [inlmath]\alpha[/inlmath], a vrednosti koje sam dobio za sinus i kosinus su oblika arkus sinus/kosinus, i nisam odatle siguran koliko mi je samo [inlmath]\alpha[/inlmath]?
Hvala unapred!

Acim je napisao:Utvrdio sam da mi je kosinus pozitivan [inlmath]\left(\frac{4}{5}\right)[/inlmath], dok mi je [inlmath]\sin\alpha=-\frac{3}{5}[/inlmath] (mislim da tu nije trebalo da određujem [inlmath]\pm[/inlmath], jer je sinus bio bez kvadrata i već je stajao znak [inlmath]-[/inlmath] ispred).

Upravo tako, iz formule [inlmath]\sin\alpha=-\frac{3}{4}\cos\alpha[/inlmath] vidi se da sinus i kosinus moraju biti suprotnog znaka.
Ne smeta ni ako si posebno odredio znak za sinus (osim ako ti vreme nije presudno). Time što si na oba načina dobio isti predznak za sinus fina ti je potvrda da taj predznak jeste tačan.

Acim je napisao:E sad, kako si tačno mislio da uvrstim dobijene rezultate u adicionu, pošto u tekstu zadatka piše [inlmath]\alpha[/inlmath], a vrednosti koje sam dobio za sinus i kosinus su oblika arkus sinus/kosinus, i nisam odatle siguran koliko mi je samo [inlmath]\alpha[/inlmath]?

Upravo zato što ne možeš da odrediš vrednost ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] (osim preko arkus funkcija), vrednost izraza [inlmath]\sin\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)[/inlmath] možeš odrediti jedino primenom adicione formule, jer će ti tada u tom novom izrazu ugao [inlmath]\alpha[/inlmath] figurisati samo unutar [inlmath]\sin\alpha[/inlmath] i [inlmath]\cos\alpha[/inlmath], a njihove vrednosti su ti poznate.
Da ti je poznata sama vrednost ugla [inlmath]\alpha[/inlmath], tada ne bi bilo potrebe za adicionom – samo bi uvrstio u [inlmath]\sin\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)[/inlmath] i izračunao bi.

Hvala puno, uspeo sam da rešim.