MATEMANIJA

Prvi probni prijemni ispit FON – 12. jun 2021.
12. zadatak

Pozdrav buni me ovaj primer sa ovogodisnjeg probnog prijemnog na FON-u.

Zbir svih rešenja jednačine [inlmath]\displaystyle\sin^4x+\cos^4x=\frac{7}{8}[/inlmath] na intervalu [inlmath](−\pi,\pi)[/inlmath] jednak je:
rezutat je [inlmath]0[/inlmath]

Dodjem do dela: [inlmath]\displaystyle1-2\sin^2x\cos^2x=\frac{7}{8}[/inlmath] i dalje ne znam

[dispmath]\sin^4x+\cos^4x=\frac{7}{8}\\
\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2-2\sin^2x\cos^2x=\frac{7}{8}\\
1-\frac{1}{2}\left(2\sin x\cos x\right)^2=\frac{7}{8}\\
\sin^22x=\frac{1}{4}[/dispmath] Jel možeš dalje sam? Ako zatreba još neki deo, slobodno pitaj.

Hvala resio sam

Ovaj zadatak se može uraditi i bez trigonometrije. Štaviše, i bez papira i olovke – čistim zaključivanjem.

Odmah se može uočiti da je leva strana parna funkcija (kosinus je sam po sebi parna funkcija, a sinus je neparna ali dignuta na parni stepen takođe je parna – dobro, ovo je jedino od trigonometrije što je potrebno). Zbir dve parne funkcije je, normalno, parna funkcija.
I sad, traži se da vrednost parne funkcije bude jednaka nekoj konstanti [inlmath]p[/inlmath] (u ovom slučaju [inlmath]p=\frac{7}{8}[/inlmath]). Ako je [inlmath]f(x)=p[/inlmath], tada je, zbog [inlmath]f(x)=f(-x)[/inlmath], takođe i [inlmath]f(-x)=p[/inlmath]. To znači, za svako [inlmath]x_k[/inlmath] koje predstavlja rešenje ovakve jednačine, [inlmath]-x_k[/inlmath] će takođe predstavljati rešenje ove jednačine. Pošto se traže rešenja na intervalu [inlmath](-a,a)[/inlmath] (kao što je u ovom zadatku slučaj), tada će svako rešenje iz intervala [inlmath](0,a)[/inlmath] imati nekog svog „parnjaka“ iz intervala [inlmath](-a,0)[/inlmath], koji će mu biti jednak po apsolutnoj vrednosti a suprotan po znaku, i njihov zbir će biti nula. Kada uparimo sva takva rešenja iz intervala [inlmath](-a,a)[/inlmath], zaključujemo da zbir svih rešenja iz tog intervala mora biti nula.

Evo i grafičke predstave (za neki opšti slučaj parne funkcije). Jednačina [inlmath]f(x)=p[/inlmath] zadovoljena je u presečnim tačkama crvene krive i plave horizontalne linije: