MATEMANIJA

Za domaći sam dobio da rešim sledeću trigonometrijsku nejednačinu:
[dispmath]\sin^2\left(x-\frac{\sqrt3-1}{2}\right)\sin\left(x-\frac{\sqrt3}{4}\right)<0[/dispmath]
Ovo je moje rešenje:
[dispmath]\left(1-\cos^2\left(x-\frac{\sqrt3-1}{2}\right)\right)\sin\left(x-\frac{\sqrt3}{4}\right)<0[/dispmath] Sada dobijamo ove dve nejednačine: [inlmath]1-\cos^2\left(x-\frac{\sqrt3-1}{2}\right)<0[/inlmath] ili [inlmath]\sin\left(x-\frac{\sqrt3}{4}\right)<0[/inlmath].
Zatim sam zaključio da prva nejednačina nema rešenje, dok za drugu nejednačinu dobijam: [inlmath]2\pi+2k\pi>x-\frac{\sqrt3}{4}>\pi+2k\pi[/inlmath]. Sada bi trebalo doći do intervala za [inlmath]x[/inlmath], međutim, to neću uraditi jer nisam siguran da li je, pre svega, moj postupak rešavanja ovog zadatka tačan, kao i rezultat.

Mislim da ti je tacan postupak

Pa, ja ne mislim. Prvo, kad imaš nejednačinu tipa [inlmath]ab<0[/inlmath], tada ne možeš reći [inlmath]a<0[/inlmath] ili [inlmath]b<0[/inlmath].
Iz [inlmath]ab<0[/inlmath] slede dva moguća slučaja. Jedan je [inlmath]a>0\;\land\;b<0[/inlmath], a drugi je [inlmath]a<0\;\land\;b>0[/inlmath]. Dakle, [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] moraju biti različitog znaka da bi njihov proizvod bio manji od nule, logično.
Pošto ti je ovde prvi činilac kvadrat, to on sigurno ne može biti negativan. Ne sme biti ni nula kako bi nejednakost bila ispunjena, tako da taj uslov odmah zapisuješ: [inlmath]\sin^2\left(x-\frac{\sqrt3-1}{2}\right)\ne0[/inlmath]. Nema nikakvog pretvaranja u kosinus, odavde odmah sledi da je [inlmath]x-\frac{\sqrt3-1}{2}\ne k\pi[/inlmath]. Pošto je postavljen uslov da je prvi činilac pozitivan, drugi mora biti negativan, to je već ona nejednačina koju si ispravno napisao.

Nego, jesi li siguran da zadatak zaista ovako glasi? Totalno su nelogične vrednosti u argumentu sinusa.

Hvala, Daniele! Da li tu mogu da se nacrtaju dva kocentrična kruga, na kojima se traže intervali za koje su obe nejednačine manje od [inlmath]0[/inlmath] i veće od nule, kako bi se takvi intervali uvrstili u uniju rešenja nejednačine?

Pošto je ovaj zadatak prepisan sa table, moguće je da su ove zagrade dodate... Originalna nejednačina glasi ovako: [inlmath]\sin^2x-\frac{\sqrt3-1}{2}\sin x-\frac{\sqrt3}{4}<0[/inlmath].

Pa, bez tih zagrada razlika je drastična. Ovako zadatak već ima smisla (štaviše, elementaran je). Rešavaj kao kvadratnu po [inlmath]\sin x[/inlmath].