MATEMANIJA

Dokazati:
[dispmath]\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)\left(\frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)=1[/dispmath]
Pokušao sam da rešim zadatak tako što sam umesto [inlmath]\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)[/inlmath] napisao [inlmath]\frac{1+\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan\frac{\alpha}{2}}[/inlmath], odnosno [inlmath]\frac{1+\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}}{1-\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}}[/inlmath], ali iskreno ne vidim kako mi ovo olakšava posao. Da li bi neko mogao da me posavetuje kako da pristupim rešavanju ovog zadatka?

[dispmath]\frac{1+\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}}{1-\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}}=\frac{\sqrt{1+\cos\alpha}+\sqrt{1-\cos\alpha}}{\sqrt{1+\cos\alpha}-\sqrt{1-\cos\alpha}}=\cdots=\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}[/dispmath] Sada samo vratiš u izraz

---

Drugi način
Neka ostane [inlmath]\frac{1+\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan\frac{\alpha}{2}}[/inlmath], a [inlmath]\sin\alpha=\frac{2\tan{\frac{\alpha}{2}}}{1+\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}[/inlmath] i [inlmath]\cos\alpha=\frac{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}\ldots[/inlmath]

Hvala ti na odgovoru! Pokušao sam da uradim zadatak na prvi način, ali mi najiskrenije nije jasno kako si od ovog prvog izraza došla do ovog iza znaka jednakosti.
[dispmath]\frac{1+\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}}{1-\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}}=\frac{\sqrt{1+\cos\alpha}+\sqrt{1-\cos\alpha}}{\sqrt{1+\cos\alpha}-\sqrt{1-\cos\alpha}}=\cdots[/dispmath]

[dispmath]\frac{\sqrt{1+\cos\alpha}+\sqrt{1-\cos\alpha}}{\sqrt{1+\cos\alpha}-\sqrt{1-\cos\alpha}}\cdot\frac{\sqrt{1+\cos\alpha}+\sqrt{1-\cos\alpha}}{\sqrt{1+\cos\alpha}+\sqrt{1-\cos\alpha}}=\\
\frac{1+\cos\alpha+2\sqrt{1-\cos^2\alpha}+1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha-1+\cos\alpha}=\frac{2(1+\sin\alpha)}{2\cos\alpha}[/dispmath] Naravno ovo važi uz određene uslove, da li je u zadatku dat još neki podatak?

Joj, hvala ti!! Mislim da nisam bio najjasniji u prethodnom odgovoru, jer sam se samo pitao kako si od [inlmath]\frac{1+\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}}{1-\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}}[/inlmath] došla do [inlmath]\frac{\sqrt{1+\cos\alpha}+\sqrt{1-\cos\alpha}}{\sqrt{1+\cos\alpha}-\sqrt{1-\cos\alpha}}[/inlmath]. Racionalizovao sam [inlmath]\frac{1+\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}}{1-\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}}[/inlmath], ali nikako da stignem do [inlmath]\frac{\sqrt{1+\cos\alpha}+\sqrt{1-\cos\alpha}}{\sqrt{1+\cos\alpha}-\sqrt{1-\cos\alpha}}[/inlmath].

I da, nije bilo nikakvih dodatnih podataka u zadatku!

[dispmath]\frac{\frac{\sqrt{1+\cos\alpha}+\sqrt{1-\cos\alpha}}{\sqrt{1+\cos\alpha}}}{\frac{\sqrt{1+\cos\alpha}-\sqrt{1-\cos\alpha}}{\sqrt{1+\cos\alpha}}}[/dispmath]

Kao što je Vivienne lepo primetila, transformacije koje su upotrebljene u prethodnim postupcima važe samo uz određene uslove. Da bi se smelo primeniti [inlmath]\frac{1+\text{tg }\frac{\alpha}{2}}{1-\text{tg }\frac{\alpha}{2}}=\frac{1+\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}}{1-\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}}[/inlmath], morali bismo imati neki uslov da je [inlmath]\text{tg }\frac{\alpha}{2}\ge0[/inlmath], a mi taj uslov nemamo. (Važi da je [inlmath]\text{tg}^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}[/inlmath], ali odatle imamo [inlmath]\text{tg }\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}[/inlmath], tj. bez određenih uslova ne znamo kada upotrebiti [inlmath]+[/inlmath] a kada [inlmath]-[/inlmath]).

Ja bih zato to radio na sledeći način:
[dispmath]\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}\right)\left(\frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)=1\\
\frac{1+\text{tg }\frac{\alpha}{2}}{1-\text{tg }\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\overbrace{\sin^2\frac{\alpha}{2}+\cos^2\frac{\alpha}{2}}^1-\overbrace{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}^{\sin\alpha}}{\underbrace{\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\alpha}{2}}_{\cos\alpha}}=1\\
\frac{\frac{\cos\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}}{\cancel{\cos\frac{\alpha}{2}}}}{\frac{\cos\frac{\alpha}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}}{\cancel{\cos\frac{\alpha}{2}}}}\cdot\frac{\left(\cos\frac{\alpha}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}\right)^\bcancel2}{(\cos\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2})\bcancel{(\cos\frac{\alpha}{2}-\sin\frac{\alpha}{2})}}=1\\
\frac{\cancel{\cos\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}}}{\bcancel{\cos\frac{\alpha}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}}}\cdot\frac{\bcancel{\cos\frac{\alpha}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}}}{\cancel{\cos\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}}}=1\\
1=1[/dispmath]