MATEMANIJA

Pozdrav, imam problema oko resavanja ovog zadatka:
- Koliko ima resenja jednacina [inlmath]\cos x+\sin3x=2[/inlmath] u intervalu [inlmath][0,\pi)[/inlmath]?
- Ja sam prvo pomislio da sve podelim sa [inlmath]2[/inlmath] kako bi dobio adicionu formulu za [inlmath]\sin[/inlmath] ali odmah sam video da to ne mogu da uradim jer nemam [inlmath]\sqrt3[/inlmath].
- Da li neko zna neki drugi pristup?
- Takodje resenje glasi da jednacina ima 2 resenja.

Iskoristi činjenicu da ni sinus ni kosinus ne mogu biti veći od jedinice.
I, ne dobije se da postoje dva rešenja, već se dobije da ne postoje rešenja.

To sto se tice sinusa i kosinusa znam, ali u resenjima pise da ima 2 resenja.
Verovatno je stamparska greska..

Nije ni prva ni poslednja. Toliko je očigledno da jednačina ne može imati rešenja, jer može biti zadovoljena jedino ako je istovremeno i [inlmath]\cos x=1[/inlmath] i [inlmath]\sin3x=1[/inlmath]. Ako je [inlmath]\cos x=1[/inlmath] znači da u obzir dolaze jedino vrednosti [inlmath]x=2k\pi[/inlmath], a ako to uvrstimo u [inlmath]\sin3x[/inlmath] dobijemo [inlmath]\sin6k\pi[/inlmath], što znači da sinus tada mora biti jednak nuli. Znači, nemoguće je da i sinus i kosinus budu jedinice, a samim tim ni da jednačina bude zadovoljena.
Sme li se znati odakle je ovaj zadatak?

- Da naravno, zadatak je iz zbirke za Masinski fakultet.
- Takodje sada sam ga uradio tako da umesto 3 pise [inlmath]\sqrt3[/inlmath] i zaista se dobije da jednacina ima 2 resenja.

Vermez je napisao:- Takodje sada sam ga uradio tako da umesto 3 pise [inlmath]\sqrt3[/inlmath] i zaista se dobije da jednacina ima 2 resenja.

Ni jednačina [inlmath]\cos x+\sin\sqrt3x=2[/inlmath] nema rešenja.

A ako si eventualno mislio na jednačinu [inlmath]\cos x+\sqrt3\sin3x=2[/inlmath] ili na jednačinu [inlmath]\sqrt3\cos x+\sin3x=2[/inlmath] (mada nisi tako napisao) – onda da, bilo koja od te dve jednačine ima dva rešenja na [inlmath][0,\pi)[/inlmath].

Ja se izvinjavam pogresno sam napisao zadatak on glasi: [inlmath]\cos x+3\sin x=2[/inlmath].

Izvinjavam se ponovo ali i dalje ne znam kako se radi.

Pošto se traži samo broj rešenja, a ne i koja su to rešenja, može se uraditi grafički.
Skiciraj grafike funkcija [inlmath]f(x)=3\sin x[/inlmath] i [inlmath]g(x)=2-\cos x[/inlmath] a zatim uoči koliko imaju presečnih tačaka na intervalu [inlmath][0,\pi)[/inlmath].

Hvala vam na pomoci