MATEMANIJA

Pozdrav svima,
vežbao sam zadatke iz trigonometrije i naišao sam na ovaj:
[dispmath]\text{tg}^2\,10^\circ+\text{tg}^2\,50^\circ+\text{tg}^2\,70^\circ=9[/dispmath] Zadatak mi je zanimljiv, ali težak jer nisam uspeo da ga rešim i ponestalo mi je ideja.
Naime, pokušavao sam da tangense pretvorim u kotangense da bih iskoristio u nekom obliku formulu:
[dispmath]\cos20^\circ\cos40^\circ\cos80^\circ=\frac{1}{8}[/dispmath] pokušavao sam više puta na ovaj način da rešim, pošto sam mislio da sam nešto pogrešio u računanju svaki put, ali mi uvek na kraju dođe nesvodljivi razlomak (tj. razlomak koji ne umem da svedem).
Nakon toga sam prestao da pokušavam, ali još uvek želim da znam kako se rešava.

Pre svega, možemo uočiti da je zadati izraz jednak sledećem:
[dispmath]\text{tg}^210^\circ+\text{tg}^2(-50^\circ)+\text{tg}^270^\circ[/dispmath] (U sledećem koraku će biti jasno zbog čega sam [inlmath]50^\circ[/inlmath] zamenio sa [inlmath]-50^\circ[/inlmath].)

Ako posmatramo tangense trostrukih vrednosti ovih uglova, možemo uočiti da su sva tri tangensa jednaka:
[dispmath]\text{tg }30^\circ=\text{tg }(-150^\circ)=\text{tg }210^\circ=\frac{\sqrt3}{3}[/dispmath] Na osnovu formule za tangens trostrukog ugla [inlmath]\text{tg }3\alpha=\frac{3\text{ tg }\alpha-\text{tg}^3\alpha}{1-3\text{ tg}^2\alpha}[/inlmath] (a koja se može dobiti adicionom formulom [inlmath]\text{tg }(2\alpha+\alpha)=\cdots[/inlmath]), sledi [inlmath]\text{tg}^3\alpha-3\text{ tg }3\alpha\text{ tg}^2\alpha-3\text{ tg }\alpha+\text{tg }3\alpha=0[/inlmath]. Dakle, u pitanju je kubna jednačina po [inlmath]\text{tg }\alpha[/inlmath], što znači da će za neko fiksno [inlmath]\text{tg }3\alpha[/inlmath] postojati i tri rešenja po [inlmath]\text{tg }\alpha[/inlmath]. Pošto nam je ovde [inlmath]\text{tg }3\alpha=\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath], a [inlmath]\text{tg }30^\circ[/inlmath], [inlmath]\text{tg }(-50^\circ)[/inlmath] i [inlmath]\text{tg }70^\circ[/inlmath] su svi međusobno različiti, sledi da su [inlmath]\text{tg }30^\circ[/inlmath], [inlmath]\text{tg }(-50^\circ)[/inlmath] i [inlmath]\text{tg }70^\circ[/inlmath] upravo tri različita rešenja kubne jednačine [inlmath]\text{tg}^3\alpha-\sqrt3\text{ tg}^2\alpha-3\text{ tg }\alpha+\frac{\sqrt3}{3}=0[/inlmath]. Radi lakšeg zapisa, možemo uvesti smenu [inlmath]\text{tg }\alpha=t[/inlmath], čime jednačina postaje
[dispmath]t^3-\sqrt3t^2-3t+\frac{\sqrt3}{3}=0[/dispmath] a izraz čiju vrednost određujemo je [inlmath]t_1^2+t_2^2+t_3^2[/inlmath], gde su [inlmath]t_1[/inlmath], [inlmath]t_2[/inlmath] i [inlmath]t_3[/inlmath] rešenja posmatrane kubne jednačine. Sad samo Vietove formule i dalje je lako...