MATEMANIJA

Zadatak glasi: Odredi oblast vrednosti funkcije [inlmath]y=\text{tg }x+\text{ctg }x[/inlmath]. Započeo sam ga ovako:
[dispmath]y=\text{tg }x+\text{ctg }x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}[/dispmath] Onda sam posmatrao na kom intervalu je ograničena sinusna funkcija:
Onda bi trebalo da je oblast vrednosti funkcije: [inlmath]y\in[-2,2][/inlmath] ali to nije tačno...

Gde sam pogrešio i ako bi neko mogao da mi objasni kako se rade ovakvi tipovi zadataka, jer način na koji ja radim očigledno ne radi.

Da napomenem da je ovo zadatak iz svojstva realnih funkcija, tj još nismo radili izvode itd...

Pogrešan je zaključak:

[inlmath]\sin2x\in[-1,1]\Rightarrow\frac{1}{\sin2x}\in[-1,1][/inlmath]

Ako je [inlmath]0\lt a\le 1[/inlmath] onda je [inlmath]\frac{1}{a}\in\left[1,+\infty \right)[/inlmath]. Mislim da ćeš sada znati završiti zadatak, jer ostalo zaključivanje ti je ispravno.

delimično te razumem, onda bi sledilo da je oblast vrednosti funkcije [inlmath]y\in[2,+\infty)[/inlmath]. Medjutim pojavljuje se rešenje [inlmath]y\in(-\infty,-2][/inlmath]. Kako smo došli do tog rešenja. Ako bi mogao da mi pojasniš?

Ako je [inlmath]-1\le a<0[/inlmath] onda [inlmath]\frac{1}{a}\in\left(-\infty,-1\right][/inlmath]. Dakle, ako je [inlmath]-1\le a\le1[/inlmath] onda [inlmath]\frac{1}{a}\in\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,+\infty\right)[/inlmath].

Hvala puno!