MATEMANIJA

Pozdrav, treba mi pomoć oko zadatka, koji glasi:

Koliko ima celih brojeva [inlmath]x[/inlmath] za koje je [inlmath]\left|\arctan x+2\arctan\frac{1}{x+10}\right|<\frac{\pi}{2}[/inlmath]?

Rešenje u zbirci je [inlmath]19[/inlmath].

Pokušao sam da sa obe strane jednakosti ubacim tangens, jer je tangens od arkustangensa [inlmath]x[/inlmath] upravo samo [inlmath]x[/inlmath], ali je problem što je [inlmath]\tan\frac{\pi}{2}[/inlmath] nedefinisan, pa me je to zbunilo...

Mislim da treba da se iskoriti identitet (formula):
[dispmath]\arctan\left(x\right)+\arctan\left(y\right)=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)[/dispmath] Ali, ovo je tačno samo ako je [inlmath]xy<1[/inlmath].
Mislim da je tačna sledeća formula:
[dispmath]\arctan\left(x\right)+\arctan\left(y\right)=\left\{ \begin{matrix}
\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) & ,xy<1\\
\pi+\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) & ,xy>1,x>0,y>0 \\
-\pi+\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) & ,xy>1,x<0,y<0 \\
\frac{\pi}{2} & ,xy=1,x>0,y>0\\
-\frac{\pi}{2} & ,xy=1,x<0,y<0\\
\end{matrix}\right.[/dispmath]
Na osnovu ovoga sledi obimam posao analize intervala. Probao sam da sredim deo pod absolutom vrednošću
[dispmath]\arctan x+2\arctan\frac{1}{x+10}=\left( \arctan x+\arctan\frac{1}{x+10}\right)+\arctan\frac{1}{x+10}[/dispmath] koristeći prethodnu formulu.
Ako nisam napravio grešku, dobio sam da je
[dispmath]\arctan\left(x\right)+2\arctan\left(\frac{1}{x+10}\right)=\left\{ \begin{matrix}
\arctan\left(\frac{x^3+20x^2+101x+20}{99-x^2}\right) & ,x \in \left(-\sqrt{99},\sqrt{99}\right)\\
-\pi+\arctan\left(\frac{x^3+20x^2+101x+20}{99-x^2}\right) & ,x \not \in \left(-\sqrt{99},\sqrt{99}\right) \\
\end{matrix}\right\}[/dispmath]
Posle ovoga, čini mi se da je lako završiti dokaz.