MATEMANIJA

Cemu je jednako [inlmath]\sin x+\sin2x+\sin3x+\cdots+\sin10x[/inlmath]?

Pokusao sam da uradim preko adicionih formula i formula dvostrukog ugla, ali postupak je jako iscrpljujuci i na kraju sam sigurno negde u racunu pogresio. Verujem da se ovo radi na "foru", pa ako neko ima ideju, bio bih zahvalan.

Pregrupiši sabirke , odnosno napiši dati izraz ( obeležimo ga sa A) ovako[dispmath]A=(\sin x +\sin 10x )+(\sin 2x +\sin 9x)+\cdots+(\sin 5x +\sin 6x)[/dispmath]Primeni formule " zbir u proizvod ", pa kada izdvojiš činilac zajednički za sve sabirke, biće [dispmath]A=(\sin \frac{11x}{2})(2\cos \frac{9x}{2} +2\cos \frac{7x}{2} +\cdots+2\cos \frac {x}{2})[/dispmath] Sada i levu i desnu stranu poslednje jednakosti pomnoži sa [inlmath]\sin \frac{x}{2}[/inlmath] ( to je ta "fora"). Na desnoj strani jednakosti taj činilac unesi u drugu zagradu, primeni formule "proizvod u zbir " i sredi izraz, pa ćeš dobiti da je[dispmath]A=\frac{\sin 5x \sin \frac{11x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}[/dispmath] Iz dobijenog rezultata možemo zaključiti ( a to se može dokazati) da je tačna formula[dispmath]\sin x+\sin2x+\sin3x+\cdots+\sin nx =\frac{\sin \frac{nx}{2} \sin \frac{(n+1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}[/dispmath]To je druga "fora".