To su:
[dispmath]\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y[/dispmath][dispmath]\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y[/dispmath]
Formule za sinus i kosinus razlike slede neposredno iz toga:
[dispmath]\sin (x-y)=\sin [x+(-y)]=\sin x\cos (-y)+\cos x\sin (-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y[/dispmath]
Slično, za kosinus:
[dispmath]\cos (x-y)=\cos [x+(-y)]=\cos x\cos (-y)-\sin x\sin (-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y[/dispmath]
Ovde je iskorišćena činjenica da je kosinus parna, a sinus neparna funkcija. Ove formule se pak mogu dati kao takve, a da se parnost i neparnost sinusa i kosinusa dokaže upravo preko adicionih formula.
[dispmath]\cos (-x)=\cos (0-x)=\cos 0\cos x+\sin 0\sin x=\cos x[/dispmath][dispmath]\sin (-x)=\sin (0-x)=\sin 0\cos x-\cos 0\sin x=-\sin x[/dispmath]
Pošto su prethodne adicione formule za sinus i kosinus poznate, formule za tangens i kotangens zbira i razlike se dalje izvode lako:
[dispmath]\mathrm{tg}(x+y)=\frac{\sin (x+y)}{\cos (x+y)}=\frac{\sin x\cos y+\cos x\sin y}{\cos x\cos y-\sin x\sin y}[/dispmath]
Ako se brojilac i imenilac podele sa [inlmath]\cos x\cos y[/inlmath]:
[dispmath]\mathrm{tg}(x+y)=\frac{\mathrm{tg}\:x+\mathrm{tg}\:y}{1-\mathrm{tg}\:x\mathrm{tg}\:y}[/dispmath]
Slično za razliku:
[dispmath]\mathrm{tg}(x-y)=\frac{\sin (x-y)}{\cos (x-y)}=\frac{\sin x\cos y-\cos x\sin y}{\cos x\cos y+\sin x\sin y}[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}(x-y)=\frac{\mathrm{tg}\:x-\mathrm{tg}\:y}{1+\mathrm{tg}\:x\mathrm{tg}\:y}[/dispmath]
Formule za kotangens zbira i razlike izvode se potpuno analogno:
[dispmath]\mathrm{ctg}(x+y)=\frac{\cos (x+y)}{\sin (x+y)}=\frac{\cos x\cos y-\sin x\sin y}{\sin x\cos y+\cos x\sin y}[/dispmath]
Deobom sa [inlmath]\sin x\sin y[/inlmath]:
[dispmath]\mathrm{ctg}(x+y)=\frac{\mathrm{ctg}\:x\mathrm{ctg}\:y-1}{\mathrm{ctg}\:y+\mathrm{ctg}\:x}[/dispmath]
Slično za razliku:
[dispmath]\mathrm{ctg}(x-y)=\frac{\cos (x-y)}{\sin (x-y)}=\frac{\cos x\cos y+\sin x\sin y}{\sin x\cos y-\cos x\sin y}[/dispmath][dispmath]\mathrm{ctg}(x-y)=\frac{\mathrm{ctg}\:x\mathrm{ctg}\:y+1}{\mathrm{ctg}\:y-\mathrm{ctg}\:x}[/dispmath]
Formule za sinus i kosinus dvostrukog ugla lako se izvode upravo preko adicionih formula:
[dispmath]\sin 2x=\sin (x+x)=\sin x\cos x+\sin x\cos x=2\sin x\cos x[/dispmath][dispmath]\cos 2x=\cos (x+x)=\cos x\cos x-\sin x\sin x=\cos^2x-\sin^2x[/dispmath]
Formule za trostruki, četvorostruki... ugao se takođe daju izvesti preko adicionih formula ako se iskoriste prethodno dobijeni rezultati.
[dispmath]\sin 3x=\sin (2x+x)=\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x[/dispmath][dispmath]\cos 3x=\cos (2x+x)=\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x[/dispmath]
Ostaje da se uvrste prethodno dobijeni izrazi za [inlmath]\sin 2x[/inlmath] i [inlmath]\cos 2x[/inlmath].
Za četvorostruki ugao:
[dispmath]\sin 4x=\sin (2x+2x)=\sin 2x\cos 2x+\cos 2x\sin 2x=2\sin 2x\cos 2x[/dispmath][dispmath]\cos 4x=\cos (2x+2x)=\cos 2x\cos 2x-\sin 2x\sin 2x=\cos^2 2x-\sin^2 2x[/dispmath]
Slično se može naći [inlmath]\sin 5x=\sin (4x+x)=\sin (3x+2x)[/inlmath], tako što se iskoriste prethodno izvedeni obrasci.
Tako za [inlmath]\sin 6x=\sin (4x+2x)=\sin (3x+3x)=\sin (5x+x)[/inlmath]
Itd.
Formule tipa [inlmath]\sin (x+k\pi)[/inlmath], [inlmath]\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath] i sl. mogu se pamtiti na razne načine. Recimo, imamo formulu [inlmath]\sin (2\pi+x)=\sin x[/inlmath]. Možemo do nje doći na više načina:
1) sa trigonometrijske kružnice možemo zaključiti da se nakon punog obrta od [inlmath]2\pi[/inlmath] radijana vraćamo u polazni položaj
2) znajući za osobinu periodičnosti sinusne funkcije
3) putem adicione formule
[dispmath]\sin (x+2\pi)=\sin x\cos 2\pi+\cos x\sin 2\pi=\sin x[/dispmath]
Tako se, recimo, mogu izvesti i formule poput:
[dispmath]\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos\frac{\pi}{2}\cos x+\sin\frac{\pi}{2}\sin x=\sin x[/dispmath]
Vrednosti trigonometrijskih funkcija raznih uglova moguće je odrediti pomoću adicionih formula ako su poznate bar neke od vrednosti. Tako, na primer, dovoljno je znati vrednosti sinusa i kosinusa za ugao od [inlmath]30[/inlmath] i [inlmath]90[/inlmath] stepeni da bi se našla vrednost odgovarajućih funkcija za sledeće uglove:
[dispmath]\sin 60^\circ=\sin\left(90^\circ-30^\circ\right)=\sin 90^\circ\cos 30^\circ-\cos 90^\circ\sin 30^\circ[/dispmath][dispmath]\sin 120^\circ=\sin\left(60^\circ+60^\circ\right)=\sin\left(90^\circ+30^\circ\right)[/dispmath][dispmath]\sin 150^\circ=\sin\left(120^\circ+30^\circ\right)=\sin\left(90^\circ+60^\circ\right)[/dispmath][dispmath]\sin 180^\circ=\sin\left(90^\circ+90^\circ\right)[/dispmath][dispmath]\sin 210^\circ=\sin\left(180^\circ+30^\circ\right)[/dispmath]
Ostaje da se primene adicione formule i iskoriste poznate vrednosti.
Sve ovo, uz iste zbirove, važi i za druge trigonometrijske funkcije.
Adicione formule mogu poslužiti za izvođenje formula za proizvod sinusa i kosinusa.
Naime, kako je:
[dispmath]\cos (x+y)+\cos (x-y)=(\cos x\cos y-\sin x\sin y)+(\cos x\cos y+\sin x\sin y)=2\cos x\cos y[/dispmath][dispmath]\cos x\cos y=\frac{1}{2}\left[\cos (x+y)+\cos(x-y)\right][/dispmath]
Slično:
[dispmath]\cos (x+y)-\cos (x-y)=(\cos x\cos y-\sin x\sin y)-(\cos x\cos y+\sin x\sin y)=-2\sin x\sin y[/dispmath][dispmath]\sin x\sin y=-\frac{1}{2}\left[\cos (x+y)-\cos (x-y)\right][/dispmath]
Najzad, iz:
[dispmath]\sin (x+y)+\sin (x-y)=(\sin x\cos y+\cos x\sin y)+(\sin x\cos y-\cos x\sin y)=2\sin x\cos y[/dispmath][dispmath]\sin x\cos y=\frac{1}{2}\left[\sin (x+y)+\sin (x-y)\right][/dispmath]
Formule za proizvod tangensa i kotangensa se dalje trivijalno izvode deobom prva dva izvedena obrasca.
Ako se ovo prethodno tretira kao međurezultat – dalje se mogu dobiti i formule za zbir sinusa ili kosinusa:
Neka je [inlmath]x+y=a[/inlmath] i [inlmath]x-y=b[/inlmath]
Rešimo jednačinu po [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath].
[inlmath]x=\frac{a+b}{2}[/inlmath] i [inlmath]y=\frac{a-b}{2}[/inlmath]
Vraćanjem u prethodne obrasce se onda dobijaju pomenute formule.
Formule za polovinu ugla se mogu izvesti na sledeći način.
Za kosinus:
[dispmath]\sin\frac{x}{2}=\sin\left(x-\frac{x}{2}\right)=\sin x\cos\frac{x}{2}-\cos x\sin\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]\sin\frac{x}{2}(1+\cos x)=\sin x\cos\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]\cancel{\sin\frac{x}{2}}(1+\cos x)=2\cancel{\sin\frac{x}{2}}\cos^2\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}[/dispmath]
Za sinus:
[dispmath]\cos\frac{x}{2}=\cos\left(x-\frac{x}{2}\right)=\cos x\cos\frac{x}{2}+\sin x\sin\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]\cos\frac{x}{2}-\cos x\cos\frac{x}{2}=\sin x\sin\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]\cos\frac{x}{2}(1-\cos x)=\sin x\sin\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]\cancel{\cos\frac{x}{2}}(1-\cos x)=2\sin^2\frac{x}{2}\cancel{\cos\frac{x}{2}}[/dispmath][dispmath]1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}[/dispmath][dispmath]\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}[/dispmath]
Osnovna trigonometrijska jednakost [dispmath]\sin^2x+\cos^2x=1[/dispmath] sledi direktno iz definicija i Pitagorine teoreme. Međutim, možemo do nje doći i polazeći od adicionih formula, a ako prethodne formule tretiramo kao međurezultat. Sabiranjem:
[dispmath]\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}+\frac{1+\cos x}{2}=1[/dispmath]
Drugi način da se ovo dokaže pomoću adiconih formula je:
[dispmath]1=\cos 0=\cos\left(x-x\right)=\cos x\cos\left(-x\right)-\sin x\sin\left(-x\right)=\cos x\cos x+\sin x\sin x=\cos^2x+\sin^2x\\
\Rightarrow\quad\sin^2x+\cos^2x=1[/dispmath]
Radi jednostavnosti, u startu se pošlo od dve adicione formule. Međutim, ni drugu nije neophodno koristiti. Naime, već je pokazano da važi [inlmath]\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x[/inlmath]. Da je onda i [inlmath]\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x[/inlmath] se lako pokazuje smenom [inlmath]\frac{\pi}{2}-x=t[/inlmath], pa je [inlmath]x=\frac{\pi}{2}-t[/inlmath], i onda je [inlmath]\sin t=\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)[/inlmath].
Iz formule za sinus zbira izvedena je formula za sinus razlike. Stoga, uz ove prethodne formule možemo i nju iskoristiti za izvođenje obrasca za kosinus zbira.
[dispmath]\cos (x+y)=\sin\left[\frac{\pi}{2}-(x+y)\right]=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x-y\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cos y-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\sin y=\cos x\cos y-\sin x\sin y[/dispmath]
Prema tome, od celog brda formula kojih ima u trigonometriji u suštini je dovoljna jedna adiciona – za sinus zbira. Ona vam, uz malo razumevanja i kreativnosti, može poslužiti da izvedete sve ostalo.
