MATEMANIJA

Primer 33.


Za koje vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath], jednačina [inlmath]\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x}=a[/inlmath] ima rešenje?

---

[dispmath]\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x}=a[/dispmath]
Uslov je: [inlmath]x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right][/inlmath]. Neka je [inlmath]f(x)=\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x}[/inlmath]. Tada je [inlmath]f(0)=-1,\;f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1[/inlmath]...
E, posle ovog dela u rešenju, oni rade izvod [inlmath]f(x)[/inlmath], čime dokazuju da funkcija uvek raste, a zatim kao konačno rešenje uzimaju [inlmath]-1\le a\le1[/inlmath].

---

Nije mi jasno zbog čega mora da se dokaže da je funkcija monotono rastuća da bismo znali kom intervalu pripada parametar [inlmath]a[/inlmath].

Matematika za prijemni ispit na tehničkim i prirodno matematičkim fakultetima (Jovanov, Lazović, Đorić)

stevan95 je napisao:Uslov je: [inlmath]x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right][/inlmath].

Zapravo, uslov definisanosti funkcije je [inlmath]x\in\left[2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right],\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath], ali, budući da se lako može pokazati da je period posmatrane funkcije [inlmath]2\pi[/inlmath], dovoljno je, radi posmatranja mogućih vrednosti funkcije, posmatrati samo taj interval [inlmath]x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right][/inlmath].

Ako se dokaže da funkcija na posmatranom intervalu monotono raste, kao i da je neprekidna na tom intervalu (što se takođe može pokazati, budući da su i sinus i kosinus neprekidni, a budući da imaju nenegativnu vrednost, to će i njihovi koreni predstavljati neprekidne funkcije), iz ta dva podatka (monotonost i neprekidnost) zaključuje se da će minimalnu vrednost funkcija imati na levoj granici intervala, tj. u nuli, a maksimalnu vrednost će imati u desnoj granici intervala, tj. u [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]. Na taj način dobijemo interval unutar kojeg se može naći vrednost leve strane jednačine, a samim tim je to i interval unutar kojeg se može naći i vrednost desne strane jednačine, a to je vrednost parametra [inlmath]a[/inlmath].

A da je funkcija bila monotono opadajuća i imala maksimum u [inlmath]0[/inlmath] i minimum u [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], kako bi to uticalo na parametar [inlmath]a[/inlmath]?

Uz još obavezan uslov da je funkcija neprekidna na tom intervalu, uticalo bi tako što bi vrednost parametra [inlmath]a[/inlmath] bila u intervalu [inlmath]\left[f\left(\frac{\pi}{2}\right),f\left(0\right)\right][/inlmath]:


Zbog čega stalno naglašavam neprekidnost kao neophodan uslov? Evo ti primer funkcije koja je rastuća na celom intervalu [inlmath]\left[a,b\right][/inlmath], kojoj je prvi izvod, dakle, pozitivan na celom tom intervalu, a koja je, čak, i diferencijabilna na celom tom intervalu. Međutim, nije ispunjen uslov da je funkcija na tom intervalu i neprekidna, već ima prekid u tački [inlmath]c[/inlmath] koja se nalazi unutar intervala [inlmath]\left[a,b\right][/inlmath]). I, šta se onda dešava?


Ova slika nam pokazuje primer kada, iako je minimalna vrednost funkcije na donjoj granici intervala, maksimalna vrednost te funkcije ipak neće biti na gornjoj granici intervala.

Naravno, to ne znači da ne mogu postojati i takvi slučajevi kada funkcija jeste prekidna, a kada će njena minimalna i maksimalna vrednost ipak biti na granicama intervala. Ali, kod prekidnih funkcija nemamo i garanciju da će se to desiti.