Dato je [inlmath]18[/inlmath] pravih u ravni od kojih [inlmath]10[/inlmath] ima zajedničku tačku, a sem njih ne postoje druge tri koje se seku u jednoj tački, niti postoje dve koje su paralelne. Broj trouglova, čije stranice pripadaju datim pravama iznosi:
[dispmath]{10\choose2}{8\choose1}+{10\choose1}{8\choose2}+{8\choose3}[/dispmath]
Ne razumem najbolje ovo podvučeno šta tačno znači, kao ni deo rešenja:

Pretpostavljam da je [inlmath]{10\choose1}{8\choose2}\to[/inlmath] slučaj kada je teme trougla presek tih [inlmath]10[/inlmath] pravih, pa ostala dva temena biramo na [inlmath]8\choose2[/inlmath]načina.

Dalje, ako je [inlmath]8\choose3[/inlmath] onih [inlmath]8[/inlmath] pravih koje nemaju zajedničku tačku, šta bi onda trebalo da prestavlja [inlmath]{10\choose2}{8\choose1}[/inlmath] ?? I zašto recimo nemamo slučaj [inlmath]10\choose3[/inlmath] ??

Ako bi neko mogao malo slikovitije da mi poobjasni ove stvari bio bih vrlo zahvalan

Da ne bih previše komplikovao ionako već komplikovan crtež, nacrtao sam malo redukovan slučaj (jer bitno je samo shvatiti princip), u kojem imamo [inlmath]9[/inlmath] pravih, od kojih njih [inlmath]5[/inlmath] ima zajedničku tačku, a sem njih ne postoje druge tri koje se seku u jednoj tački:


Ovih [inlmath]5[/inlmath] pravih što imaju jednu zajedničku tačku nacrtao sam crvenom bojom, a one preostale [inlmath]4[/inlmath] prave nacrtao sam plavom bojom, kako bismo ih na crtežu lakše razlikovali. Presečne tačke sam označio zelenom bojom.

E, sad ovo boldovano što te buni. To znači da, sem ove jedne tačke u kojoj se stiču ove crvene prave (na ovoj slici [inlmath]5[/inlmath] pravih, u tvom zadatku njih [inlmath]10[/inlmath]) nijedna druga tačka ne sme biti zajednička za više od dve prave. Znači, situacija na sledećoj slici nije dozvoljena:

MarkoL je napisao:Pretpostavljam da je [inlmath]{10\choose1}{8\choose2}\to[/inlmath] slučaj kada je teme trougla presek tih [inlmath]10[/inlmath] pravih, pa ostala dva temena biramo na [inlmath]8\choose2[/inlmath]načina.

Ne, vodi računa o tome, da su u zadatku traženi trouglovi određeni pravama, a ne tačkama. Znači, ne biramo temena, tj. ne tražimo trouglove čija su temena ove presečne tačke na slici, već tražimo trouglove čije stranice pripadaju datim pravama. Razlika postoji, jer, ako pogledaš sliku, uočićeš da postoje takvi parovi tačaka kroz koje nije povučena nijedna prava. Zbog toga, ako bismo uzeli random tri tačke i rekli – to nam je jedan trougao – moglo bi se desiti da neka od stranica tog trougla ipak ne leži ni na jednoj od datih pravih, pa samim tim taj trougao, prema uslovu zadatka, ne bi bio među onima koje tražimo.

Možemo uočiti (gledajući sledeću sliku) da imamo tri vrste trouglova:


– trouglovi čije dve stranice leže na „crvenim“ pravama, a preostala jedna stranica leži na „plavoj“ pravoj (na slici je primer jednog takvog trougla označen zelenkastom bojom);
– trouglovi čija jedna stranica leži na „crvenoj“ pravoj, a preostale dve stranice leže na „plavim“ pravama (na slici je primer jednog takvog trougla označen žućkastom bojom);
– trouglovi čije sve tri stranice leže na „plavim“ pravama (na slici je primer jednog takvog trougla označen crvenkastom bojom).

U tvom zadatku, ovih zelenkastih trouglova ima [inlmath]{10\choose2}{8\choose1}[/inlmath] (broj načina na koje od [inlmath]10[/inlmath] „crvenih“ pravih možemo odabrati dve, pomnožen brojem načina na koje od [inlmath]8[/inlmath] „plavih“ pravih možemo odabrati jednu).
Žućkastih trouglova ima [inlmath]{10\choose1}{8\choose2}[/inlmath] (broj načina na koje od [inlmath]10[/inlmath] „crvenih“ pravih možemo odabrati jednu, pomnožen brojem načina na koje od [inlmath]8[/inlmath] „plavih“ pravih možemo odabrati dve).
Crvenkastih trouglova ima [inlmath]8\choose3[/inlmath] (broj načina na koje od [inlmath]8[/inlmath] „plavih“ pravih možemo odabrati tri).

I, na kraju – samo to sve saberemo:
[dispmath]{10\choose2}{8\choose1}+{10\choose1}{8\choose2}+{8\choose3}[/dispmath]

MarkoL je napisao:I zašto recimo nemamo slučaj [inlmath]10\choose3[/inlmath] ??

Zbog toga što nikoje [inlmath]3[/inlmath] od tih [inlmath]10[/inlmath] „crvenih“ pravih ne mogu formirati trouglove, budući da se sve seku u samo jednoj tački. Drugim rečima, ne može postojati trougao čije sve tri stranice pripadaju „crvenim“ pravima.

Hvala ti puno na detaljnom i slikovitom objašnjenju

To me je isto bunilo samo se ne setih da kažem, međutim si mi već objasnio: to da li se traži presek tih pravih ili mogu da biram tačke random kao što kažeš, a u ovom drugom slučaju bi bilo beskonačno mnogo trouglova jer svaka prava ima beskonačno mnogo tačaka...

u ovom prvom slučaju kao što se i slikovito vidi treba da pripadaju, znači ubuduće kod ovakvih zadataka temena trouglova moraju biti presek pravih da bi stranica pripadala pravoj ?

MarkoL je napisao:to da li se traži presek tih pravih ili mogu da biram tačke random kao što kažeš, a u ovom drugom slučaju bi bilo beskonačno mnogo trouglova jer svaka prava ima beskonačno mnogo tačaka...

Nismo se najbolje razumeli – kada sam spomenuo „random tri tačke“ (kao postupak koji bi bio pogrešan), nisam mislio baš na bilo koje tačke na tim pravama (dobili bismo, što kažeš, beskonačno mnogo trouglova i svakako da mi ta mogućnost nije ni pala na pamet), već svakako na neke tri slučajno izabrane presečne tačke. Izvinjavam se što sam u toj rečenici izostavio ovo presečne i time stvorio zabunu.

MarkoL je napisao:znači ubuduće kod ovakvih zadataka temena trouglova moraju biti presek pravih da bi stranica pripadala pravoj ?

To da temena trouglova moraju biti preseci pravih jeste potreban ali ne i dovoljan uslov da bi stranica pripadala pravoj, i to je ono što sam u prethodnom postu i pokušao da objasnim. Nikako ne vršimo odabir presečnih tačaka, već odabir pravih. Jer, ako bismo vršili odabir presečnih tačaka, mogli bismo napraviti takav odabir, da trouglovi čija su temena te odabrane presečne tačke nemaju svaku od tri svoje stranice na nekoj od zadatih pravih.
Konkretno:


Ako bismo od ovih presečnih tačaka odabrali, recimo, presečne tačke [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath], tada bismo dobili trougao čija bi stranica [inlmath]1–2[/inlmath] zaista ležala na nekoj od zadatih pravih, međutim, stranice [inlmath]2–3[/inlmath] i [inlmath]1–3[/inlmath] ne bi ležale ni na jednoj od zadatih pravih, prema tome, takav trougao ne bi spadao u one trouglove koji su nam u ovom zadatku od interesa, budući da se u zadatku traži broj trouglova čije stranice pripadaju datim pravama.
Ili, recimo, ako bismo formirali trougao od presečnih tačaka [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath], tada bismo dobili trougao čija nijedna stranica ne bi ležala na nekoj od zadatih pravih.

Dakle, temena ovih trouglova koje posmatramo svakako moraju biti presečne tačke zadatih pravih, ali obrnuto ne važi – neće sve presečne tačke zadatih pravih biti temena ovih naših trouglova.

Hvala ti na izvdojenom vremenu sad tek shvatam o čemu se radi