desideri je napisao:bolje je da pokrenemo "off topic" temu npr "prijemni ispiti u regionu" pa da tu nastavimo, da ne opterećujemo ovu temu.
Upravo to i ja htedoh da predložim.
OK, da se mi sad malo vratimo na ono što je tema ove teme.
Gamma je napisao:Kao što sam već napisao to su permutacije s ponavljanjem koje postaju kombinacije.
Kombinacije bez ponavljanja su i inače dosta povezane s permutacijama s ponavljanjem u kojima se ponavljaju dva elementa.
Gamma je napisao:Pa eto ako neko ima još koji način neka objasni.
Eto, ja bih to objasnio preko kombinacija bez ponavljanja.
Kao što si i primetio, [inlmath]\left(a+b\right)^n[/inlmath] možemo napisati kao
[dispmath]\left(a+b\right)^n=\underbrace{\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)\cdots\left(a+b\right)}_{n\;\mathrm{binoma}}[/dispmath]
U slučaju [inlmath]n=2[/inlmath],
[dispmath]\left(a+b\right)^2=\left(a+b\right)\left(a+b\right)[/dispmath]
i množimo „svaki sa svakim“:
[dispmath]a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^2+2ab+b^2[/dispmath]
Svaki od ovih članova razvoja dobili smo tako što smo sabrali sve sabirke s istim stepenom [inlmath]a[/inlmath] i istim stepenom [inlmath]b[/inlmath]. Članove razvoja [inlmath]a^2[/inlmath] i [inlmath]b^2[/inlmath] dobili smo od samo po jednog sabirka, [inlmath]a\cdot a[/inlmath], odnosno [inlmath]b\cdot b[/inlmath]. Član razvoja [inlmath]2ab[/inlmath] dobili smo tako što smo sabrali [inlmath]a\cdot b[/inlmath] i [inlmath]b\cdot a[/inlmath].
Treba da odgovorimo na pitanje – od koliko se sabiraka, u opštem slučaju, dobija svaki od ovih članova razvoja?
Član razvoja [inlmath]a^2[/inlmath] dobijamo tako što iz svakog od ova dva binoma koji se množe odaberemo monom [inlmath]a[/inlmath] i zatim te odabrane monome međusobno izmnožimo. To možemo učiniti na jedan način, jer od ukupno [inlmath]2[/inlmath] binoma možemo na [inlmath]C_2^2={2\choose2}[/inlmath] načina odabrati ona dva iz kojih ćemo uzeti monom [inlmath]a[/inlmath]. Ili, ako posmatramo to kao binome iz kojih biramo monom [inlmath]b[/inlmath], potrebno je da ne odaberemo nijedan binom iz kojeg ćemo uzeti monom [inlmath]b[/inlmath]. Znači, [inlmath]C_2^0={2\choose0}[/inlmath] (što je i jednako kao i [inlmath]2\choose2[/inlmath] i iznosi [inlmath]1[/inlmath]. Sličan rezon je i za sabirke koji daju [inlmath]b^2[/inlmath]. Zbog toga uz [inlmath]a^2[/inlmath] i [inlmath]b^2[/inlmath] u razvoju binoma [inlmath]\left(a+b\right)^2[/inlmath] stoje koeficijenti [inlmath]1[/inlmath].
Sabirak [inlmath]2ab[/inlmath], kao što rekosmo, dobijamo sabiranjem dva sabirka, [inlmath]a\cdot b[/inlmath] i [inlmath]b\cdot a[/inlmath]. Broj tih sabiraka (dva) možemo dobiti kao broj načina na koje od ukupno [inlmath]2[/inlmath] binoma možemo odabrati jedan binom iz kojeg ćemo uzeti monom [inlmath]a[/inlmath]. Taj broj iznosi [inlmath]C_2^1={2\choose1}[/inlmath], a to je, naravno, [inlmath]2[/inlmath].
Kod binoma na [inlmath]3.[/inlmath] stepen, [inlmath]\left(a+b\right)^3[/inlmath], imamo
[dispmath]\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)[/dispmath]
Članove razvoja [inlmath]a^3[/inlmath] i [inlmath]b^3[/inlmath] dobijamo na sličan način kao u malopre opisanom slučaju – koeficijent uz [inlmath]a^3[/inlmath] jednak je broju sabiraka koji daju taj član razvoja, a to je broj načina na koje od ova [inlmath]3[/inlmath] binoma biramo ona [inlmath]3[/inlmath] iz kojih ćemo uzeti monom [inlmath]a[/inlmath] (ili broj načina na koje ne biramo nijedan binom iz kojeg ćemo uzeti monom [inlmath]b[/inlmath]). Znači, [inlmath]3\choose3[/inlmath], tj. [inlmath]3\choose0[/inlmath].
Član razvoja koji sadrži [inlmath]a^2b[/inlmath] imaće onaj koeficijent koliko smo imali sabiraka [inlmath]a\cdot a\cdot b[/inlmath], a to je broj načina na koje od ova [inlmath]3[/inlmath] binoma možemo odabrati ona [inlmath]2[/inlmath] iz kojih ćemo uzeti monom [inlmath]a[/inlmath] (iliti, onaj jedan binom iz kojeg ćemo uzeti monom [inlmath]b[/inlmath]). Znači, [inlmath]3\choose2[/inlmath], tj. [inlmath]3\choose1[/inlmath].
Analogno i za član razvoja koji sadrži [inlmath]ab^2[/inlmath].
Sada, u opštem slučaju,
[dispmath]\left(a+b\right)^n=\underbrace{\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)\cdots\left(a+b\right)}_{n\;\mathrm{binoma}}[/dispmath]
član razvoja koji sadrži [inlmath]a^{n-k}b^k[/inlmath] dobijamo tako što saberemo sve sabirke [inlmath]\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n-k\;\mathrm{monoma}}\cdot\underbrace{b\cdot b\cdots b}_{k\;\mathrm{monoma}}[/inlmath]. Ovih sabiraka ima onoliko koliko ima načina na koje od ukupno [inlmath]n[/inlmath] binoma možemo odabrati onih [inlmath]n-k[/inlmath] binoma iz kojih ćemo uzeti monom [inlmath]a[/inlmath]. Taj broj iznosi [inlmath]n\choose n-k[/inlmath], a zbog osobine binomnog koeficijenta, to je isto što i [inlmath]n\choose k[/inlmath] (što bismo, opet, dobili da smo posmatrali broj načina na koje od [inlmath]n[/inlmath] binoma možemo odabrati onih [inlmath]k[/inlmath] binoma iz kojih ćemo uzeti monom [inlmath]b[/inlmath]).
Prema tome, uz član razvoja [inlmath]a^{n-k}b^k[/inlmath] ide koeficijent [inlmath]n\choose k[/inlmath].
