Pozdrav!
Imam problema sa jednim zadatkom
On glasi ovako:
Odrediti zbir svih racionalnih sabiraka u razvoju binoma
[dispmath]\left(\sqrt[4]{x^3}+\sqrt[3]x\right)^{10}[/dispmath] E sad, izvodjenjem opsteg clana dobijem
[dispmath]\sum_{k=0}^{10}{10\choose k}x^{\Large\frac{90-5k}{12}}\quad\Longrightarrow\quad\frac{90-5k}{12}=p\;\land\;p\in\mathbb{Z}[/dispmath] dakle, treba mi pomoc oko odredjivanja racionalnih sabiraka

hvala unapred

Ne znam da li ti je dovde tačno (da ne proveravam sad na papiru), ali ti si ovde glavni deo posla odradio. Sada "samo" treba da nađeš [inlmath]k[/inlmath] za koje će razlomak [inlmath]\frac{90-5k}{12}[/inlmath] biti ceo broj, baš kao što si (ispravno) zakljucio i napisao. Dakle tražimo ceo broj [inlmath]k[/inlmath], veći ili jednak [inlmath]0[/inlmath] i manji ili jednak [inlmath]10[/inlmath], za koji je [inlmath]90-5k[/inlmath] deljivo sa [inlmath]12[/inlmath]. Odmah možeš da odbaciš neparne brojeve za [inlmath]k[/inlmath] zato što brojilac mora da bude paran, i onda vidiš da će razlomak biti ceo broj samo za [inlmath]k=6[/inlmath]. Sada ti je lako da odrediš taj koeficijent.

Ponavljam, ovo je sve pod pretpostavkom da ti je razlomak u eksponentu tačan. Ovako iz glave, rekao bih da jeste.

[inlmath]k=6[/inlmath] jeste tacno. Da li si ovo odredio uvrstavanjem svih vrednosti za [inlmath]k[/inlmath] koje zadovoljavaju uslov da je [inlmath]p[/inlmath] ceo broj i da je [inlmath]0\le{k}\le10[/inlmath] ? Ako jeste, da li postoji nacin na koji bi "matematicki" dokazalo da je [inlmath]k=6[/inlmath] ?
mene zanima sta da je eksponent tj. u ovom slucaju [inlmath]n=10[/inlmath] nije [inlmath]10[/inlmath] vec neki drugi broj, npr. [inlmath]n=2017[/inlmath] i da je [inlmath]0\le{k}\le2017[/inlmath]. Kako bismo tada resavali ovaj zadatak tj. kako bismo odredili [inlmath]k[/inlmath]?
Tada bi opsti clan glasio:
[dispmath]\sum_{k=0}^{2017}{2017\choose k}x^{\Large\frac{18153-5k}{12}}\quad\Longrightarrow\quad\frac{18153-5k}{12}=p\;\land\;p\in\mathbb{Z}[/dispmath]

@duske97
Ako zadatak zaista glasi tako kako si ga napisao (u šta opravdano sumnjam), tada ga nije moguće rešiti, jer ne znamo prirodu vrednosti [inlmath]x[/inlmath].
Ako [inlmath]x[/inlmath] predstavlja [inlmath]12.[/inlmath] stepen nekog racionalnog broja, tada će svi sabirci biti racionalni, jer će se [inlmath]12[/inlmath] iz eksponenta tog racionalnog broja kratiti s onim [inlmath]12[/inlmath] u imeniocu, pa neće ni biti važno čemu je jednak brojilac.
Takođe, ako je [inlmath]x[/inlmath] iracionalan (izuzev kada je u pitanju peti koren nekog racionalnog broja), tada nijedan sabirak neće biti racionalan.

Ovakve pat-pozicije su upravo razlog postojanja tačke 11. Pravilnika – dakle, insistiranje na tačnom tekstu zadatka nije nikakav hir, već postoji s ciljem da bi se izbegle ovakve nedoumice.
Molim te da napišeš kompletan tekst zadatka, od reči do reči onako kako glasi, pa zatim nastavljamo.

Zadatak od reci do reci glasi:
Odrediti zbir svih racionalnih sabiraka u razvoju binoma [inlmath]\left(\sqrt[4]{x^3}+\sqrt[3]x\right)^{10}[/inlmath]

Onda imaš pravo da odgovoriš da rešenje nije moguće odrediti, i niko ti na takvom odgovoru nema pravo zameriti.

Hvala!

Našao sam skoro isti zadatak koji glasi:
Naci racionalne clanove u razvoju binoma [inlmath]\left(\sqrt[4]{2^3}+\sqrt[3]2\right)^{10}[/inlmath]
Za resenje se dobija [inlmath]{10\choose6}2^5[/inlmath]
Konkretno mene zanima kako se dolazi do [inlmath]k[/inlmath]
Sve nakon koraka [inlmath]\frac{90-5k}{12}=p[/inlmath] mi nije jasno...
Izvinjavam se ako sam malo naporan

Neće biti da je to skoro isti zadatak, već će pre biti da je to zapravo isti taj zadatak, samo ovaj put ispravno napisan...

OK, ovo se sad već može rešiti. Došli smo do izraza za sabirak koji glasi [inlmath]{10\choose k}2^{\Large\frac{90-5k}{12}}[/inlmath]. Dakle, potrebno je da brojilac bude deljiv imeniocem, kako bi razlomak [inlmath]\frac{90-5k}{12}[/inlmath] bio ceo broj.
Potreban (ne i dovoljan) uslov za to je da [inlmath]90-5k[/inlmath] bude deljivo sa [inlmath]6[/inlmath]. Budući da je [inlmath]90[/inlmath] deljivo sa [inlmath]6[/inlmath], znači da mora i [inlmath]5k[/inlmath] biti deljivo sa [inlmath]6[/inlmath], tj. [inlmath]k[/inlmath] mora biti deljiivo sa [inlmath]6[/inlmath].
Na osnovu ovoga već sad možemo isprobavanjem vrednosti iz intervala [inlmath][0,10][/inlmath] koje su deljive sa [inlmath]6[/inlmath], a to su vrednosti [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]6[/inlmath], naći onu vrednost za koju je razlomak [inlmath]\frac{90-5k}{12}[/inlmath] ceo broj.
Ali, ako želimo postupnije, radimo ovako. Pošto je [inlmath]k[/inlmath] deljivo sa [inlmath]6[/inlmath], napišemo ga kao [inlmath]k=6l[/inlmath], gde je [inlmath]l\in\mathbb{Z}[/inlmath]. Zatim to uvrstimo u razlomak:
[dispmath]\frac{90-5k}{12}=\frac{90-30l}{12}=\cancel{30}^5\cdot\frac{3-l}{\cancel{12}^2}=5\cdot\frac{3-l}{2}[/dispmath] Odavde vidimo da [inlmath]3-l[/inlmath] mora biti parno, tj. da [inlmath]l[/inlmath] mora biti neparno, tj. mora biti oblika [inlmath]l=2m+1[/inlmath], [inlmath]m\in\mathbb{Z}[/inlmath]. Kad to uvrstimo u izraz za [inlmath]k[/inlmath], imamo
[dispmath]k=6l=6(2m+1)=12m+6[/dispmath] što predstavlja brojeve [inlmath]\ldots-18,-6,6,18,30,\ldots[/inlmath] S obzirom na pripadnost [inlmath]k[/inlmath] intervalu [inlmath][0,10][/inlmath], vidimo da [inlmath]k[/inlmath] može biti jedino [inlmath]6[/inlmath].

duske97 je napisao:mene zanima sta da je eksponent tj. u ovom slucaju [inlmath]n=10[/inlmath] nije [inlmath]10[/inlmath] vec neki drugi broj, npr. [inlmath]n=2017[/inlmath] i da je [inlmath]0\le{k}\le2017[/inlmath]. Kako bismo tada resavali ovaj zadatak tj. kako bismo odredili [inlmath]k[/inlmath]?
Tada bi opsti clan glasio:
[dispmath]\sum_{k=0}^{2017}{2017\choose k}x^{\Large\frac{18153-5k}{12}}\quad\Longrightarrow\quad\frac{18153-5k}{12}=p\;\land\;p\in\mathbb{Z}[/dispmath]

U tom slučaju bi ti zgodnije bilo da nađeš najbliži broj broju [inlmath]18153[/inlmath] koji je deljiv sa [inlmath]12[/inlmath], to je broj [inlmath]18156[/inlmath], pa da razlomak zapišeš kao
[dispmath]\frac{18153-5k}{12}=\frac{18156-3-5k}{12}=\frac{18156}{12}-\frac{3+5k}{12}=1513-\frac{3+5k}{12}[/dispmath] i zatim određuješ [inlmath]k[/inlmath] tako da [inlmath]3+5k[/inlmath] bude deljivo sa [inlmath]12[/inlmath]...

Hvala puno na odgovoru
Inace zaista je prvi zadatak postavljen tako.