Pozdrav! Zadatak je sledeći:

Dat je konveksni petougao [inlmath]A_1A_2A_3A_4A_5[/inlmath] i tačke [inlmath]B_1[/inlmath], [inlmath]B_2[/inlmath], [inlmath]B_3[/inlmath], [inlmath]B_4[/inlmath] i [inlmath]B_5[/inlmath] tako da svaka stranica petougla sadrži tačno jednu od tih tačaka. Konstruisane su sve prave određene temenima petougla i tačkama [inlmath]B_1[/inlmath], [inlmath]B_2[/inlmath], [inlmath]B_3[/inlmath], [inlmath]B_4[/inlmath] i [inlmath]B_5[/inlmath]. Ako se zna da se (ne računajući tačke [inlmath]A_i[/inlmath] i [inlmath]B_j[/inlmath], [inlmath]i,j\in\{1,2,3,4,5\}[/inlmath]) nikoje tri od tih pravih ne seku u jednoj tački i nikoje dve nisu paralelne, odrediti broj svih tačaka u kojima se seku po dve od tih pravih.
Rešenje: [inlmath]360[/inlmath]

Moj postupak:
Ukupan broj tačaka je [inlmath]10[/inlmath]. Pošto dve tačke određuju jednu pravu, [inlmath]10[/inlmath] tačaka određuje [inlmath]{10\choose2}=45[/inlmath] pravih. Kako postoji pet parova od po [inlmath]3[/inlmath] kolinearne tačke (tj. neke od pravih se preklapaju) od ukupnog broja pravih treba oduzeti [inlmath]3\choose2[/inlmath] i dodati [inlmath]5[/inlmath] (tri kolinearne tačke određuju tačno jednu pravu), pa je ukupan broj pravih određenih temenima petougla i tačkama središta njegovih stranica jednak [inlmath]45-{3\choose2}+5=35[/inlmath].
Po uslovu koji je dat u tekstu zadatka (nikoje tri od pravih, ne računajući temena petougla i središta njegovih stranica, se ne seku u jednoj tački i nikoje dve nisu paralelne) zaključujuem da će svake dve prave (od ukupno [inlmath]45[/inlmath]) "određivati" tačno jednu tačku, pa je ukupan broj presečnih tačaka jednak [inlmath]35\choose2[/inlmath]. Od ovog broja treba oduzeti one tačke u kojima se seku više od dve prave - u svakom od temena petougla se seče [inlmath]8[/inlmath] pravih, a u svakoj tački koja predstavlja središte neke od stranica petougla [inlmath]7[/inlmath] pravih. Prema tome, traženi broj tačaka je jednak
[dispmath]{35\choose2}-5{8\choose2}-5{7\choose2}=350[/dispmath] Međutim, u rešenjima su malo drugačije radili:
[dispmath]{35\choose2}-5\left({8\choose2}{\color{red}{-1}}\right)-5\left({7\choose2}{\color{red}{-1}}\right)=360[/dispmath] Ne znam odakle ove jedinice (obeležene crveno), rekao bih da su u konačno rešenje uvrstili i tačke [inlmath]A_1,A_2,A_3,A_4,A_5[/inlmath], odnosno [inlmath]B_1,B_2,B_3,B_4,B_5[/inlmath] (iako je u tekstu zadatka jasno rečeno da se one ne uključuju), al' možda je i nešto drugo u pitanju, pa reko' bolje da pitam. Hvala!

Frank je napisao:rekao bih da su u konačno rešenje uvrstili i tačke [inlmath]A_1,A_2,A_3,A_4,A_5[/inlmath], odnosno [inlmath]B_1,B_2,B_3,B_4,B_5[/inlmath] (iako je u tekstu zadatka jasno rečeno da se one ne uključuju),

A di to piše da se one ne uključuju?
Ono što piše, to je sledeće:

Frank je napisao:Ako se zna da se (ne računajući tačke [inlmath]A_i[/inlmath] i [inlmath]B_j[/inlmath], [inlmath]i,j\in\{1,2,3,4,5\}[/inlmath]) nikoje tri od tih pravih ne seku u jednoj tački

Dakle, time je samo rečeno da za te tačke ne važi da se u njima ne seku nikoje tri prave. Ali, nigde ne piše da se te tačke izuzimaju iz konačnog rešenja.

Istini za volju, nakon toga sledi ovaj deo,

Frank je napisao:odrediti broj svih tačaka u kojima se seku po dve od tih pravih.

koji nije sasvim jasan – da li se misli da se u tim tačkama seku tačno dve od tih pravih, ili bar dve od tih pravih. Ali, s obzirom na ponuđen rezultat, očigledno se mislilo na ovo drugo.

---

I, moram par stvari malo korigovati,

Frank je napisao:Kako postoji pet parova od po [inlmath]3[/inlmath] kolinearne tačke (tj. neke od pravih se preklapaju) od ukupnog broja pravih treba oduzeti [inlmath]3\choose2[/inlmath] i dodati [inlmath]5[/inlmath] (tri kolinearne tačke određuju tačno jednu pravu), pa je ukupan broj pravih određenih temenima petougla i tačkama središta njegovih stranica jednak [inlmath]45-{3\choose2}+5=35[/inlmath].

Verovatno si umesto „pet parova od po [inlmath]3[/inlmath] kolinearne tačke“ hteo reći „pet trojaka kolinearnih tačaka“. Ne uočavam tu nikakve parove.
Drugo, trebalo bi valjda oduzeti [inlmath]5{3\choose2}[/inlmath] a ne [inlmath]3\choose2[/inlmath] pravih, tako da se dobije [inlmath]45-5{3\choose2}+5=35[/inlmath] (za onako kako je napisano, [inlmath]45-{3\choose2}+5=35[/inlmath], jednakost ne bi ni bila tačna).

BTW drugi način određivanja broja pravih bio bi da se uoči da je iz svakog temena [inlmath]A_i[/inlmath] moguće povući [inlmath]5[/inlmath] pravih koje ne pripadaju stranicama, a iz svake od tačaka [inlmath]B_i[/inlmath] po [inlmath]7[/inlmath] pravih koje ne pripadaju stranicama, što je [inlmath]12[/inlmath], pomnožimo to sa [inlmath]5[/inlmath] (jer imamo po pet tačaka [inlmath]A_i[/inlmath] i pet tačaka [inlmath]B_i[/inlmath]) ali i podelimo sa [inlmath]2[/inlmath] (jer smo time svaku pravu računali dvaput), što ukupno daje [inlmath]30[/inlmath], i na to još treba dodati [inlmath]5[/inlmath] pravih koje sadrže stranice petougla – dakle, ukupno [inlmath]35[/inlmath] pravih.

Frank je napisao:u svakom od temena petougla se seče [inlmath]8[/inlmath] pravih, a u svakoj tački koja predstavlja središte neke od stranica petougla [inlmath]7[/inlmath] pravih.

Valjda obrnuto? (Mada, ovo nema uticaja na rezultat, jer se u svakom slučaju oduzima i jedno i drugo.)
Za tačke [inlmath]B_i[/inlmath] nije rečeno da su tačke središta stranica, već samo da pripadaju stranicama – ali dobro, budući da ovo nije planimetrija već kombinatorika, ni ta greška nije od suštinske važnosti.