Zadatak 3:

Peti, šesti i sedmi koeficient u razvoju stepena binoma [inlmath](a+b)^n[/inlmath] su tri uzastopna člana rastuće aritmetičke progresije. Stepen [inlmath]n[/inlmath] je tada?

---

Prvo sam odredio taj peti, šesti i sedmi koeficient:
[dispmath]{n\choose 4},{n\choose 5},{n\choose 6}[/dispmath]
E, sad, pošto su uzastopni članovi aritmetičke progresije, pretpostavljam da treba iskoristiti onaj odnos [inlmath]\enclose{box}{a,b,c\phantom{3}\Longrightarrow\phantom{3}b=\frac{c+a}{2}}[/inlmath].

Da probam nešto da izvučem.
[dispmath]\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5!}=\frac{\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{6!}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}}{2}\\
\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5!}=\frac{\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}+\frac{30\cdot n(n-1)(n-2)(n-3)}{30\cdot 4\cdot 3\cdot 2}}{2}\\
\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5!}=\frac{\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)\cdot((n-4)(n-5)+30)}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}}{2}\\
\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)((n-4)(n-5)+30)}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 2}\quad /\cdot 6!\cdot2\\
12\cdot\cancel{n(n-1)(n-2)(n-3)}(n-4)=\cancel{n(n-1)(n-2)(n-3)}((n-4)(n-5)+30)\\
12(n-4)=(n-4)(n-5)+30\\
n^2-5n-4n+20+30-12n+48=0\\
n^2-21n+68=0\\[2em]
n_{1,2}=\frac{21\pm\sqrt{441-4\cdot 68}}{2}=\frac{21\pm\sqrt{169}}{2}=\frac{21\pm 13}{2}\\[2em]
\enclose{box}{n_1=17,\:\:n_2=4}[/dispmath]

---

Šta ovo sad znači?

Matematika za prijemni ispit na tehničkim i prirodno matematičkim fakultetima (Jovanov, Lazović, Đorić)

stevan95 je napisao:[dispmath]n^2-5n-4n+20+30-12n+48=0\\
n^2-21n+{\color{red}6}8=0[/dispmath]

Hm, koje li slučajnosti da si čak i s ovom greškom dobio diskriminantu koja je tačan kvadrat.
Inaće, dobiju se rešenja [inlmath]7[/inlmath] i [inlmath]14[/inlmath]. Ako napišeš razvoj i za [inlmath](a+b)^7[/inlmath] i za [inlmath](a+b)^{14}[/inlmath], videćeš da je i za jedan i za drugi razvoj zadovoljeno to da je koeficijent šestog člana aritmetička sredina koeficijenata petog i sedmog.

---

Ali, imaš mnogo kraći način za postupak od ovog koji si napisao:
[dispmath]{n\choose5}=\frac{1}{2}{n\choose4}+\frac{1}{2}{n\choose6}[/dispmath][dispmath]\frac{\cancel n!}{(n-5)!\cdot5!}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\cancel n!}{(n-4)!\cdot4!}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\cancel n!}{(n-6)!\cdot6!}[/dispmath][dispmath]\frac{1}{(n-5)\cancel{(n-6)!}\cdot5\cdot\cancel{4!}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(n-4)(n-5)\cancel{(n-6)!}\cdot\cancel{4!}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\cancel{(n-6)!}\cdot6\cdot5\cdot\cancel{4!}}[/dispmath][dispmath]\left.\frac{1}{(n-5)\cdot5}=\frac{1}{2(n-4)(n-5)}+\frac{1}{60}\quad\right/\cdot60(n-4)(n-5)[/dispmath][dispmath]12(n-4)=30+(n-4)(n-5)[/dispmath][dispmath]12n-48=30+n^2-9n+20[/dispmath][dispmath]n^2-21n+98=0[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath]

Dobio sam isto [inlmath]2n[/inlmath], [inlmath]7[/inlmath] i [inlmath]14[/inlmath], ali u resenju je kao tacan odgovor oznaceno Broj veci od [inlmath]12[/inlmath]. Pretpostavljam da je greska, al' da pitam za svaki slucaj...

Koja rešenja su ponuđena?

stevan95 je napisao:Zadatak 3:

Peti, šesti i sedmi koeficient u razvoju stepena binoma [inlmath](a+b)^n[/inlmath] su tri uzastopna člana rastuće aritmetičke progresije. Stepen [inlmath]n[/inlmath] je tada?

Evo ga, nasao sam u cemu je stvar.. Tacno je sto je Daniel napisao, da je i za jedan i za drugi razvoj zadovoljeno to da je koeficijent šestog člana aritmetička sredina koeficijenata petog i sedmog. Ali ovde u zadatku se trazi rastuca aritmeticka progresija. Tako da je to zadovoljeno samo za [inlmath]n=14[/inlmath], dok je za [inlmath]n=7[/inlmath] opadajuca.