MATEMANIJA

Od [inlmath]5[/inlmath] oficira, [inlmath]4[/inlmath] podoficira i [inlmath]10[/inlmath] vojnika treba formirati grupu od [inlmath]4[/inlmath] osobe u kojoj će biti bar po jedan oficir i podoficir. Na koliko načina je moguće to učiniti.
Ja sam zadatak resavao tako sto sam pomnozio [inlmath]5\cdot 4\cdot[/inlmath] kombinacije od [inlmath]17[/inlmath] elemenata druge klase.
tj ja sam prvo video na koliko nacina mogu da se rasporede po jedan oficir i podoficir, onda sam ta dva člana oduzeo od ukupnog broja elemenata - [inlmath]5+4+10-2=17[/inlmath] i uradio kombinacije od tih [inlmath]17[/inlmath] elemenata kako bih popunio dva prazna mesta.
Medjutim to nije bio dobar postupak.

Resenja koje je dato glasi:
Moguće sastave grupe prikažimo pomoću skupova (jer redosled nije bitan):
[inlmath]\{O,O,O,P\},\:\{O,O,P,P\},\:\{O,P,P,P\},\:\{O,P,V,V\},\:\{O,P,P,V\},\:\{O,O,P,V\},[/inlmath]
gdje [inlmath]O[/inlmath] označava oficira, [inlmath]P[/inlmath] podoficira, i [inlmath]V[/inlmath] vojnika.
Od [inlmath]5[/inlmath] oficira možemo izabrati [inlmath]3[/inlmath] oficira na [inlmath]10[/inlmath] načina.
Četvrti član grupe mora biti podoficir, za čiji izbor imamo [inlmath]4[/inlmath] mogućnosti.
Svakom izboru [inlmath]3[/inlmath] oficira od [inlmath]5[/inlmath] oficira odgovaraju [inlmath]4[/inlmath] izbora podoficira pa za ovu kombinaciju imamo [inlmath]10\cdot 4=40[/inlmath] moguća načina formiranja grupe. Slično rasuđivanje primjenjuje se i u ostalim slučajevima. Ukupan broj traženih načina je:

[inlmath]40\;\;60\;\;20\;\;900\;\;300\;\;400\qquad 1720[/inlmath].
meni je sad taj postupak jasan i logican koji se navodi u resenju ali mi nije jasno, gde je greška u mom proračunu

Obeležimo različite oficire sa [inlmath]O_1,O_2,\ldots,O_5[/inlmath], različite podoficire sa [inlmath]P_1,P_2,\ldots,P_4[/inlmath], a različite vojnike sa [inlmath]V_1,V_2,\ldots,V_{10}[/inlmath].
Radeći na način na koji si radio, ti razmatraš slučajeve:
[inlmath]O_1P_1\cdots\\
O_1P_1\cdots\\
\cdots\\
O_1P_4\cdots\\
O_2P_1\cdots\\
O_2P_2\cdots\\
\cdots\\
O_2P_4\cdots\\
\cdots\\
O_5P_4\cdots[/inlmath]
Međutim, u [inlmath]O_1P_1\cdots[/inlmath], uključen ti je i npr. slučaj [inlmath]O_1P_1O_2V_3V_5[/inlmath], a isti taj slučaj ti je uključen i u [inlmath]O_2P_1\cdots[/inlmath]. Naravno, to je samo jedan od takvih udvojenih slučajeva, a imaš i slučajeva koje si, primenom ovakvog postupka, računao i više od dva puta. Zbog toga si kao rezultat dobio veći broj načina od stvarnih.

ahm, hvala, ja sam mislio da sam se oslobodio tog ponavljanja kada sam uradio kombinacije od [inlmath]17[/inlmath] a ne [inlmath]19[/inlmath] elemenata , ugl kod takvih zadataka, kada se rasporedjuje uglavnom bi trebao na taj nacin da prvo odredim pod skupove pa onda pojedinacno racunam?

To zavisi od konkretnog zadatka. U ovom zadatku je zgodnije bilo odrediti podskupove (piše se sastavljeno!) jer ih nije bilo puno, pa onda za svaki od njih računati. U nekom drugom zadatku bi, opet, bila zgodnija neka druga metoda. Bilo je dosta sličnih zadataka u okviru rubrike Kombinatorika, pogotovo u skorije vreme, pa ti preporučujem da ih malo pregledaš.