MATEMANIJA

Suma binomnih koeficijenata članova na neparnim mestima u razlaganju binoma [dispmath]\left(a\cdot\sqrt[5]{\frac{a}{3}}-\frac{b}{\sqrt[7]a^3}\right)^n[/dispmath] jednaka je [inlmath]2048[/inlmath]. Odrediti član koji sadrži [inlmath]a^3[/inlmath]. (Zadatak br.5 u "Matematika za prijemni ispit na tehničkim i prirodno-matematičkim fakultetima", str.130)

Ja mislim da taj zbir izgleda ovako:
[inlmath]1+{n\choose 2}+{n\choose 4}+\cdots +{n\choose n}[/inlmath] (ako je [inlmath]n[/inlmath] paran broj), ako je [inlmath]n[/inlmath] neparan isto to, samo poslednji će valjda biti [inlmath]n\choose{n-1}[/inlmath]. Ali dalje ne znam, razmišljao sam da upotrebim sumu geometrijskog reda, ali to je samo moje nagađanje (ne mogu odrediti [inlmath]q[/inlmath]).

Imaš deo rešenja (tj. kako odrediti [inlmath]n[/inlmath]) u ovoj temi.

Radio sam isti, mozda ce ti biti od koristi
[dispmath]2^{n-1}=2048=2^{11}\\
n-1=11\\
n=12[/dispmath][dispmath]\left(a\sqrt[5]{\frac{a}{3}}-\frac{b}{\sqrt[7]{a^3}}\right)^{12}[/dispmath][dispmath]T_{k+1}={12\choose k}\left(a\sqrt[5]{\frac{a}{3}}\right)^{12-k}\left(-1\right)^k\left(\frac{b}{\sqrt[7]{a^3}}\right)^k[/dispmath][dispmath]\left(a\sqrt[5]a\right)^{12-k}\cdot\left(a^{-\frac{3}{7}}\right)^k=a^3[/dispmath][dispmath]\left(a^{\frac{6}{5}}\right)^{12-k}\cdot a^{-\frac{3}{7}k}=a^3[/dispmath][dispmath]a^{\frac{6\left(12-k\right)}{5}-\frac{3}{7}k}=a^3[/dispmath][dispmath]\frac{42\left(12-k\right)-15k}{35}=3[/dispmath][dispmath]42\cdot 12-42k-15k=105\\
420+84-105=57k\\
399=57k\\
k=7[/dispmath][dispmath]T_8={12\choose 7}\left(a\sqrt[5]{\frac{a}{3}}\right)^5\cdot\left(-1\right)^7\left(\frac{b}{a^{\frac{3}{7}}}\right)^7[/dispmath][dispmath]=\frac{12!}{7!\cdot 5!}\cdot\frac{a^5\cdot a}{3}\cdot\left(-1\right)\cdot\frac{b^7}{a^3}[/dispmath][dispmath]=\frac{\cancel{12}\cdot 11\cdot\cancel{10}\cdot\cancel 9^3\cdot 8}{\cancel 5\cdot\cancel 4\cdot\cancel 3\cdot\cancel 2\cdot\cancel 3}\cdot a^6\cdot\left(-1\right)\cdot\frac{b^7}{a^3}=88\cdot 3\cdot\left(-1\right)a^3\cdot b^7[/dispmath][dispmath]=\enclose{box}{-264a^3b^7}[/dispmath]