Koliko razlicitih desetocifrenoh brojeva mozemo formirati pomocu cifara [inlmath]1,2,3,4[/inlmath] takvih da je cifra [inlmath]3[/inlmath] upotrebljena tacno dva puta, a cifra [inlmath]4[/inlmath] tacno [inlmath]3[/inlmath] puta?
Stvarno ne znam kako da uradim. Dati skup cifara ima [inlmath]4[/inlmath] elemenata, a treba formirati desetocifrene brojeve? Podseca me pomalo na permutacije sa ponavljanjem,ali verovatno gresim.
Index stranica ‹ OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ‹ KOMBINATORIKA
Formirati desetocifrene brojeve od 4 cifre
Pregled za štampanje • Pregled za štampanje svih postova u temi • 2 Posta
• Stranica 1 od 1
Re: Formirati desetocifrene brojeve od 4 cifre
od Daniel » Petak, 27. Jun 2014, 22:07
Da, podseća na permutacije s ponavljanjem, ali samo podseća. 
Za trojku i za četvorku je rečeno koliko tačno puta treba da se pojavljuju, dok za jedinicu i dvojku ništa nije rečeno, što znači da se mogu ili ne pojavljivati, ili pojavljivati proizvoljan broj puta (ali najviše [inlmath]5[/inlmath] puta, jer je broj desetocifren, a [inlmath]5[/inlmath] od tih [inlmath]10[/inlmath] cifara su trojke i četvorke).
Prvo pogledamo na koliko načina možemo rasporediti te dve trojke na svoja mesta. Pošto je ukupan broj mesta [inlmath]10[/inlmath], a od tih [inlmath]10[/inlmath] mesta biramo [inlmath]2[/inlmath] mesta na koja ćemo postaviti dve trojke, to su onda kombinacije od [inlmath]10[/inlmath] elemenata [inlmath]2.[/inlmath] klase bez ponavljanja, [inlmath]C_{10}^2[/inlmath].
Zatim treba na preostalih [inlmath]8[/inlmath] mesta postaviti one [inlmath]3[/inlmath] četvorke. Znači, od [inlmath]8[/inlmath] preostalih mesta biramo [inlmath]3[/inlmath] mesta na koja stavljamo četvorke – kombinacije od [inlmath]8[/inlmath] elemenata [inlmath]3.[/inlmath] klase bez ponavljanja, tj. [inlmath]C_8^3[/inlmath].
I, na kraju, na preostalih [inlmath]5[/inlmath] mesta postavljamo neke od cifara [inlmath]1[/inlmath] ili [inlmath]2[/inlmath], pri čemu se one mogu i ne pojavljivati, ali i ponavljati – varijacije od [inlmath]2[/inlmath] elementa [inlmath]5.[/inlmath] klase s ponavljanjem, tj. [inlmath]\overline V_2^5[/inlmath].
Prema tome, traženi broj načina je
[dispmath]C_{10}^2\cdot C_8^3\cdot\overline V_2^5={10\choose 2}\cdot{8\choose 3}\cdot 2^5[/dispmath]
Naravno, isti rezultat bismo dobili i da smo prvo raspoređivali četvorke ([inlmath]C_{10}^3[/inlmath]), a zatim trojke ([inlmath]C_7^2[/inlmath]).
[dispmath]{10\choose 3}\cdot{7\choose 2}\cdot 2^5[/dispmath]
što, kad se sračuna daje isti broj mogućnosti kao i kad se radi na prethodno opisani način.
Za trojku i za četvorku je rečeno koliko tačno puta treba da se pojavljuju, dok za jedinicu i dvojku ništa nije rečeno, što znači da se mogu ili ne pojavljivati, ili pojavljivati proizvoljan broj puta (ali najviše [inlmath]5[/inlmath] puta, jer je broj desetocifren, a [inlmath]5[/inlmath] od tih [inlmath]10[/inlmath] cifara su trojke i četvorke).Prvo pogledamo na koliko načina možemo rasporediti te dve trojke na svoja mesta. Pošto je ukupan broj mesta [inlmath]10[/inlmath], a od tih [inlmath]10[/inlmath] mesta biramo [inlmath]2[/inlmath] mesta na koja ćemo postaviti dve trojke, to su onda kombinacije od [inlmath]10[/inlmath] elemenata [inlmath]2.[/inlmath] klase bez ponavljanja, [inlmath]C_{10}^2[/inlmath].
Zatim treba na preostalih [inlmath]8[/inlmath] mesta postaviti one [inlmath]3[/inlmath] četvorke. Znači, od [inlmath]8[/inlmath] preostalih mesta biramo [inlmath]3[/inlmath] mesta na koja stavljamo četvorke – kombinacije od [inlmath]8[/inlmath] elemenata [inlmath]3.[/inlmath] klase bez ponavljanja, tj. [inlmath]C_8^3[/inlmath].
I, na kraju, na preostalih [inlmath]5[/inlmath] mesta postavljamo neke od cifara [inlmath]1[/inlmath] ili [inlmath]2[/inlmath], pri čemu se one mogu i ne pojavljivati, ali i ponavljati – varijacije od [inlmath]2[/inlmath] elementa [inlmath]5.[/inlmath] klase s ponavljanjem, tj. [inlmath]\overline V_2^5[/inlmath].
Prema tome, traženi broj načina je
[dispmath]C_{10}^2\cdot C_8^3\cdot\overline V_2^5={10\choose 2}\cdot{8\choose 3}\cdot 2^5[/dispmath]
Naravno, isti rezultat bismo dobili i da smo prvo raspoređivali četvorke ([inlmath]C_{10}^3[/inlmath]), a zatim trojke ([inlmath]C_7^2[/inlmath]).
[dispmath]{10\choose 3}\cdot{7\choose 2}\cdot 2^5[/dispmath]
što, kad se sračuna daje isti broj mogućnosti kao i kad se radi na prethodno opisani način.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
2 Posta
• Stranica 1 od 1
Ko je OnLine
Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 12 gostiju