MATEMANIJA

Ova oblast mi bas lose ide, zato ne zamerite ako postavim malo vise zadataka (vec sad imam nekoliko)
Koliko ima cetvorocifrenih brojeva sa razlicitim ciframa kojima su dve cifre parne, a dve neparne?

Malo sam pretrazivao po netu i negde sam procitao da nula ne spada ni u parne ni u neparne brojeve. Mene su ucili da je nula paran broj.
Cini mi se, na osnovu prethodnog Danielovog objasnjenja, da i ovde treba da prvo nadjemo na koliko nacina mozemo rasporediti dve parne/neparne cifre u tom broju. Ja bih to ucinio uz pomoc kombinacija.

Da, nula se tretira kao paran broj. Što je i logično, ako se ima u vidu da razlika dva neparna broja daje paran broj, kao i da razlika dva parna broja daje paran broj. Nula se upravo može dobiti na oba ta načina. Primeri: [inlmath]4-4=0,\;5-5=0[/inlmath].

Opisaću ti dva načina na koja možeš uraditi ovaj zadatak.

Prvi način je, da odvojeno posmatraš slučaj da se na prvom mestu nađe parna cifra (koja nije nula) i slučaj da se na prvom mestu nađe neparna cifra.
Slučaj da je na prvom mestu parna cifra (koja nije nula): Uočiš koliko ima mogućnosti da se na prvom mestu nađe parna cifra različita od nule, pomnožiš to brojem načina da se odabere druga parna cifra, pa brojem načina da se odaberu dve neparne cifre i još to pomnožiš brojem načina na koji se te tri poslednje cifre (jedna parna i dve neparne) mogu međusobno rasporediti na ta tri mesta.
Slučaj da je na prvom mestu neparna cifra: Uočiš koliko ima mogućnosti da se na prvom mestu nađe neparna cifra, pomnožiš to brojem načina da se odabere druga neparna cifra, pa brojem načina da se odaberu dve parne cifre i još to pomnožiš brojem načina na koji se te tri poslednje cifre (jedna neparna i dve parne) mogu međusobno rasporediti na ta tri mesta.
Zatim sabereš rezultate svakog od ova dva slučaja.

Drugi način je, da u startu kao četvorocifrene brojeve posmatraš i one kod kojih je nula na prvom mestu (iako to nisu četvorocifreni brojevi, ali za trenutak ćemo zamisliti da jesu). Od ukupnog broja takvih brojeva s različitim ciframa od kojih su dve parne a dve neparne, oduzmeš one kod kojih se nula nalazi na prvom mestu (a na preostala tri mesta su, samim tim, jedna parna cifra koja nije nula i dve neparne cifre).

I na jedan i na drugi način treba da dobiješ rezultat [inlmath]2160[/inlmath]. Moj ti je savet da pokušaš da uradiš na oba načina, a ako nešto treba dodatno pojasniti, pitaj slobodno.

Ako sam dobro shvatio:
kada je na prvom mestu parna cifra :
[inlmath]4\cdot 4\cdot 5\cdot 4\cdot 6[/inlmath]. Ali kada uradim i drugi slucaj, i njih saberem ne dobijam kako treba.

Mislim da sam nasao gde sam pogresio.
Kada je prva cifra parna :
[dispmath]4\cdot 4\cdot{5\choose 2}\cdot 6=960[/dispmath]
A kada je prva cifra neparna :
[dispmath]5\cdot 4\cdot{5\choose 2}\cdot 6=1200[/dispmath]
I resenje je [inlmath]2160[/inlmath].
Ali imam jedno pitanje. Zasto smo kod biranja dva neparna broja, u prvom slucaju, koristili kombinacije kada je ovde, posto su u pitanju brojevi, vazan redosled, tj. valjda bi trebalo primeniti varijacije? Izvinite ako je pitanje glupo.

Nadam se da ne smeta ako napišem i drugo rešenje koje je Daniel fantasticno objasnio.
Ukupan broj četvorocifrenih brojeva ,(tu su i oni koji počinju sa nulom, iako ne spadaju u brojeve, kao sto napisa Daniel)' izračunao sam ovako:
[dispmath]C^2_5\cdot C^2_5\cdot 4!=2400[/dispmath]
Posle sam oduzeo "brojeve" koji počinju sa [inlmath]0[/inlmath]. tj.
[dispmath]2400-C^1_4\cdot C^2_5\cdot 3!=2160[/dispmath]

Miladin Jovic je napisao:Kada je prva cifra parna :
[dispmath]4\cdot 4\cdot{5\choose 2}\cdot 6=960[/dispmath]
A kada je prva cifra neparna :
[dispmath]5\cdot 4\cdot{5\choose 2}\cdot 6=1200[/dispmath]
I resenje je [inlmath]2160[/inlmath].
Ali imam jedno pitanje. Zasto smo kod biranja dva neparna broja, u prvom slucaju, koristili kombinacije kada je ovde, posto su u pitanju brojevi, vazan redosled, tj. valjda bi trebalo primeniti varijacije? Izvinite ako je pitanje glupo.

Pitanje je sasvim na mestu. Naravno da je redosled cifara bitan i upravo to je razlog zašto smo na kraju sve to pomnožili brojem mogućih permutacija te tri cifre, tj. sa [inlmath]3![/inlmath] (ti si to [inlmath]3![/inlmath] napisao kao [inlmath]6[/inlmath]).
I inače, ti uvek možeš broj varijacija bez ponavljanja odrediti i bez korišćenja formule za varijacije, zaobilaznim putem, tako što nađeš broj kombinacija bez ponavljanja pa ga pomnožiš brojem permutacija bez ponavljanja, jer je [inlmath]V_n^k=C_n^k\cdot P_k[/inlmath].

E sad, možda te buni to što nismo odmah to radili kao varijacije, već prvo kao kombinacije pa zatim množili brojem permutacija. To je zbog toga, što smo u izrazu za broj kombinacija imali dva različita činioca, [inlmath]4\choose 1[/inlmath] i [inlmath]5\choose 2[/inlmath], to jest, imali smo elemente različitih skupova koji učestvuju u tim kombinacijama (skup parnih i skup neparnih cifara), pa zbog toga nismo mogli tako jednostavno primeniti gotovu formulu za varijacije, već smo morali da idemo na ovaj način, preko kombinacija, pa množenjem brojem permutacija.

---

I samo jedna opaska kod ovog drugog načina – nigde nisam rekao da brojevi sastavljeni od četiri različite cifre od kojih je prva nula nisu brojevi, već sam rekao da nisu četvorocifreni brojevi.