MATEMANIJA

1. zadatak
Na polici se nalazi [inlmath]10[/inlmath] razlicitih knjiga od kojih su [inlmath]4[/inlmath] iz matematike,[inlmath]4[/inlmath] iz fizike, [inlmath]2[/inlmath] iz hemije. Na koliko nacina se mogu rasporediti na polici, ako se zna da sve knjige iz iste oblasti moraju da budu jedna do druge?

Prvo sam mislio da je u pitanju permutacija sa ponavljanjem, ali nije i to valjda zbog ovog uslova "da sve knjige moraju da budu jedna do druge".
Pa sam ovo resio ovako:
Obelezio sam date knjige ovako:
-matematika [inlmath][MMMM][/inlmath]
-fizika [inlmath][FFFF][/inlmath]
-hemija [inlmath][HH][/inlmath]
I onda, ako prvo redjamo knjige iz matematike:
[inlmath][MMMM][FFFF][HH][/inlmath]
[inlmath][MMMM][HH][FFFF][/inlmath]
Zakljucio sam da imamo, ako knjige iz svake oblasti stavim na pocetak police, ukupno [inlmath]6[/inlmath] slucajeva.
E sad, mozemo vrstiti permutacije knjiga unutar svake oblasti. Pa sam dosao do rezultata: [inlmath]6\cdot 4!\cdot 4!\cdot 2!=6912[/inlmath]
Da li je ovo u redu ili je pukim slucajem ispalo resenje kako treba?

Ovde cu postaviti drugi zadatak. Nisam hteo u gornjem postu, jer mi se cinilo, da je vec dosta obiman i bez ovog zadatka. Nadam se da ne smeta.
Raspolazemo sa [inlmath]6[/inlmath] osnovnih boja. Boje mozemo mesati uzimajuci jednake kolicine osnovnih boja i tako dobijamo nove boje.
Moze li se ovim bojama obojiti skolska tabla [inlmath]8\times 8[/inlmath] tako da svako njeno polje bude razlicito obojeno?

Ovako izgleda moje resenje:
Da bi svako polje bilo razlicito obojeno, potrebno je da imamo onoliko boja koliko skolska tabla ima polja tj. [inlmath]64[/inlmath].
Imamo [inlmath]6[/inlmath] osnovnih boja. Mislim da bi trebalo da nadjemo koliko boja mozemo da stvorimo. To sam uradio uz pomoc kombinacija [inlmath]2[/inlmath]-klase od [inlmath]6[/inlmath] elemenata. I onda bih sabrao broj osnovnih boja i broj boja koje smo stvorili: [inlmath]6+{6\choose 2}=21[/inlmath].
Odgovor: Ne moze.
Proverite da li sam i ovde pukim slucajem dosao do resenja. Sigurniji sam kada vi potvrdite ili kazete sta ne valja.

Za prvi zadatak sam prilicno siguran da je tacan, kako rezultat, tako i postupak.

Drugi zadatak bih uradio na drugi nacin. Mislim da si dobro krenuo, ali nigde u zadatku ne kazu da se mogu mesati samo dve boje. Zbog toga bih pored osnovnih boja, i onih koje se dobijaju mesanjem [inlmath]2[/inlmath] boje, sto si ti uradio, uracunao i boje koje su dobijaju mesanjem [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath] i svih [inlmath]6[/inlmath] osnovnih boja.

Kad se to uradi:
[dispmath]6+{6\choose 2}+{6\choose 3}+{6\choose 4}+{6\choose 6}+{6\choose 6}=63[/dispmath]
Odgovor je takodje ne moze.

E sad, nek neko proveri da li je to zaista resenje

Da, verovatno si u pravu. Hvala

Slažem se u svemu s kidikom. Rešenje prvog zadatka bih pokušao još dodatno da pojasnim svojim rečima. Dakle, prvo posmatramo sve knjige iz matematike kao jednu celinu, sve knjige iz fizike kao jednu celinu, sve knjige iz hemije kao jednu celinu. Znači, skup od [inlmath]3[/inlmath] elementa. Zatim tražimo broj načina na koji ta tri elementa možemo međusobno rasporediti – to su, naravno, permutacije od [inlmath]3[/inlmath] elementa, [inlmath]P_3=3!=6[/inlmath].
Potom to množimo brojem načina na koje knjige iz matematike možemo rasporediti unutar svoje grupe ([inlmath]P_4=4![/inlmath]), pa brojem načina na koje knjige iz fizike možemo rasporediti unutar svoje grupe ([inlmath]P_4=4![/inlmath]), pa brojem načina na koje knjige iz hemije možemo rasporediti unutar svoje grupe ([inlmath]P_2=2![/inlmath]). Ukupno, dakle, [inlmath]3!\cdot 4!\cdot 4!\cdot 2![/inlmath], kako si i dobio.

---

U drugom zadatku se zbir [inlmath]{6\choose 1}+{6\choose 2}+{6\choose 3}+{6\choose 4}+{6\choose 6}+{6\choose 6}[/inlmath] može lako sračunati na sledeći način:
[dispmath]{6\choose 1}+{6\choose 2}+{6\choose 3}+{6\choose 4}+{6\choose 6}+{6\choose 6}=\sum_{k=1}^6{6\choose k}=\underbrace{\sum_{k=0}^6{6\choose k}}_{2^6}-\underbrace{6\choose 0}_1=64-1=63[/dispmath]