MATEMANIJA

Clanovi benda, u cijem sastavu su [inlmath]5[/inlmath] mladica i [inlmath]3[/inlmath] devojke, izlaze jedan za drugim na scenu. Na koliko nacina to mogu da urade ako prvi na scenu izlazi jedan od mladica, a dve devojke ne mogu izaci jedna iza druge.
Ovako sam zapoceo:
Izracunao sam da ukupan broj nacina u kojima prvo izlazi jedan od mladica iznosi [inlmath]5\cdot 7![/inlmath]. Dalje sam mislio da nadjem broj nacina kada je mladic prvi i kada dve devojke izlaze jedna za drugom. Ali ne znam kako? Verovatno bi se dve devojke posmatrale kao jedan element.

Pa, trebalo bi da posmatraš odvojeno slučaj kada su tačno dve devojke jedna do druge, (što znači da treća nije odmah pored njih), a odvojeno slučaj kad su sve tri devojke jedna do druge.

Slučaj kad su sve tri devojke jedna do druge lako računaš. Posmatraš sve tri devojke kao jedan element. Dakle, permutacije s ponavljanjem od [inlmath]5[/inlmath] elemenata, sa [inlmath]4[/inlmath] jednaka elementa (mladići): [inlmath]\frac{5!}{4!\cdot 1!}=5[/inlmath]. To zatim pomnožimo brojem permutacija bez ponavljanja od [inlmath]4[/inlmath] elementa (mladići), pa brojem permutacija bez ponavljanja od [inlmath]3[/inlmath] elementa (devojke), pa brojem mogućih izbora onog prvog mladića, kojeg u dosadašnjem računu nismo uzimali u obzir ([inlmath]5[/inlmath]).

Slučaj kad su tačno dve devojke jedna do druge nešto je složeniji, jer moramo eliminisati mogućnost da je ona treća devojka pored njih.
Prvi podslučaj je da se grupa [inlmath]DDM[/inlmath] nalazi na početku, tj. odmah posle onog prvog mladića – [inlmath]\frac{4!}{3!\cdot 1!}[/inlmath] načina.
Drugi podslučaj je da se grupa [inlmath]MDDM[/inlmath] nađe negde u sredini (u sredini znači da nije na početku i nije na kraju) – [inlmath]\frac{4!}{2!\cdot 1!\cdot 1!}[/inlmath] načina.
Treći podslučaj je da se grupa [inlmath]MDD[/inlmath] nalazi na kraju – [inlmath]\frac{4!}{3!\cdot 1!}[/inlmath] načina.
Sabereš sve to i to ti je broj mogućnosti da su tačno dve devojke jedna do druge, dakle, [inlmath]20[/inlmath]. I opet, kao i u prethodnom slučaju, to pomnožiš brojem permutacija bez ponavljanja od [inlmath]4[/inlmath] elementa, pa brojem permutacija bez ponavljanja od [inlmath]3[/inlmath] elementa, pa brojem mogućih izbora onog prvog mladića.

I onda od broja koji si još ranije dobio za ukupan broj načina, [inlmath]5\cdot 7![/inlmath], oduzmeš sve to što si dobio za ova dva slučaja. Znači,
[dispmath]5\cdot 7!-5\cdot 4!\cdot 3!\cdot 5-20\cdot 4!\cdot 3!\cdot 5=5\cdot 4!\left(7\cdot 6\cdot 5-3!\cdot 5-20\cdot 3!\right)=120\left(210-30-120\right)=7200[/dispmath]

Prvi slucaj mi je potpuno jasan. Ali zasto kod drugog slucaja, tacnije kod podslucaja [inlmath]DDM[/inlmath] koristimo formulu [inlmath]\frac{4!}{3!1!1!}[/inlmath] tj. odakle nam ona cetvorka gore ako posmatramo :
[inlmath]DDM,M,M,M,D[/inlmath]. Izvinite ako je pitanje malo glupo.

Nije glupo, pitanje je sasvim na mestu. Pošto nam je [inlmath]DDM[/inlmath] „fiksirano“ na početak, njega i ne posmatramo, već posmatramo ostatak niza, u kojem imamo [inlmath]4[/inlmath] elementa, od kojih su [inlmath]3[/inlmath] elementa mladići i [inlmath]1[/inlmath] element preostala devojka.
Verovatno te zbunilo to što sam u formuli napisao [inlmath]\frac{4!}{3!\cdot 1!\cdot 1!}[/inlmath] umesto samo [inlmath]\frac{4!}{3!\cdot 1!}[/inlmath]. Da, ni sâm ne znam zbog čega sam tako napisao. Sad ću ispraviti.

---

Inače, evo i još jednog načina:

Posmatraš samo [inlmath]7[/inlmath] članova benda, nakon onog prvog mladića što je već izašao na binu. I to, za početak ne posmatraš ko je ko od samih članova, već samo raspored devojaka i mladića. Pitanje je na koliko se načina devojke i mladići mogu rasporediti na tih [inlmath]7[/inlmath] mesta, pri tome ne vodeći računa o tome ko je ko od devojaka, niti ko je ko od mladića.

Ukupan broj mogućnosti je broj permutacija s ponavljanjem od [inlmath]7[/inlmath] elemenata, pri čemu imamo grupu od [inlmath]3[/inlmath] i grupu od [inlmath]4[/inlmath] jednaka elementa: [inlmath]\frac{7!}{3!\cdot 4!}[/inlmath]

Zatim od tog ukupnog broja oduzmemo broj mogućnosti da makar dve devojke budu jedna do druge.

Broj mogućnosti da se [inlmath]3[/inlmath] devojke rasporede jedna do druge je broj permutacija s ponavljanjem od [inlmath]5[/inlmath] elemenata, pri čemu imamo grupu od [inlmath]4[/inlmath] jednaka elementa: [inlmath]\frac{5!}{4!\cdot 1!}[/inlmath]

Za mogućnost da su tačno dve devojke jedna do druge, imamo, kao i u prethodnom načinu rešavanja, tri podslučaja:
Prvi podslučaj: Grupa [inlmath]DDM[/inlmath] je na samom početku i posmatramo na koliko načina se može grupisati ostatak – permutacije s ponavljanjem od [inlmath]4[/inlmath] elementa pri čemu imamo grupu od [inlmath]3[/inlmath] jednaka elementa: [inlmath]\frac{4!}{3!\cdot 1!}[/inlmath]
Drugi podslučaj: Grupa [inlmath]MDDM[/inlmath] se ne nalazi ni na početku ni na kraju i posmatra se kao jedan element – permutacije s ponavljanjem od [inlmath]4[/inlmath] elementa pri čemu imamo grupu od [inlmath]2[/inlmath] jednaka elementa: [inlmath]\frac{4!}{2!\cdot 1!\cdot 1!}[/inlmath]
Treći podslučaj: Grupa [inlmath]MDD[/inlmath] je na samom kraju i posmatramo na koliko načina se može grupisati ostatak – permutacije s ponavljanjem od [inlmath]4[/inlmath] elementa pri čemu imamo grupu od [inlmath]3[/inlmath] jednaka elementa: [inlmath]\frac{4!}{3!\cdot 1!}[/inlmath]

Dakle, broj mogućnosti da se članovi rasporede tako da devojke ne budu jedna do druge, pri čemu ne vodimo računa o tome ko je ko, iznosi:
[dispmath]\frac{7!}{3!\cdot 4!}-\left(\frac{5!}{4!\cdot 1!}+\frac{4!}{3!\cdot 1!}+\frac{4!}{2!\cdot 1!\cdot 1!}+\frac{4!}{3!\cdot 1!}\right)=35-5-4-12-4=10[/dispmath]
Pošto tih mogućnosti nema previše, ispisaću ih:
[dispmath]DMDMDMM\\
DMDMMDM\\
DMDMMMD\\
DMMDMDM\\
DMMDMMD\\
DMMMDMD\\
MDMDMDM\\
MDMDMMD\\
MDMMDMD\\
MMDMDMD[/dispmath]
I sada, da bi dobio broj mogućnosti u kojima se vodi računa ko je ko, potrebno je da svaku od ovih mogućnosti pomnožiš brojem permutacija mladića ([inlmath]4![/inlmath]) i brojem permutacija devojaka ([inlmath]3![/inlmath]). I još to pomnožiš brojem načina na koji se može izabrati onaj prvi mladić što je izašao na binu, a taj broj je [inlmath]5[/inlmath]. Znači,
[dispmath]10\cdot 4!\cdot 3!\cdot 5=7200[/dispmath]