MATEMANIJA

Broj različitih devetocifrenih brojeva(svaka cifra se pojavljuje jednom) napisanih ciframa [inlmath]1,2,\ldots ,9[/inlmath] u kojima je cifra [inlmath]1[/inlmath] ispred cifre [inlmath]5[/inlmath] i cifra [inlmath]5[/inlmath] ispred cifre [inlmath]9[/inlmath]. Moja ideja je bila prvo da izračunam broj permutacija ovih brojeva, naime [inlmath]9![/inlmath] a onda da to podelim sa nečim (ne znam tačno sa čim).Šta vi mislite?

Meni iz teksta nije najjasnije da li cifre [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]9[/inlmath] treba da budu odmah jedna do druge (u tom slučaju zadatak bi bio smešno jednostavan), ili je dozvoljeno da između tih cifara budu i neke od ostalih cifara, kao npr. [inlmath]74{\color{red}1}38{\color{red}5}2{\color{red}9}6[/inlmath]. Pretpostaviću da je u pitanju ovo drugo.

Da, u tom slučaju možeš prvo da nađeš broj svih mogućih permutacija, [inlmath]9![/inlmath], kao što si i učinio, a zatim uočiš na koliko se načina međusobno mogu rasporediti cifre [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]9[/inlmath], pri čemu ostale cifre ignorišeš. Te tri cifre mogu se međusobno rasporediti na [inlmath]3![/inlmath] načina (permutacije od [inlmath]3[/inlmath] elementa), a za nas je povoljna samo jedna od tih permutacija. Dakle, broj svih mogućih permutacija treba da podeliš brojem permutacija te tri cifre, tj. [inlmath]\frac{9!}{3!}[/inlmath].