MATEMANIJA

Broj presjecnih tacaka svih dijagonala unutar konveksnog sedmougla [inlmath]ABCDEF[/inlmath] kod kojega se nikoje tri i vise dijagonala ne sjeku u jednoj unutrasnjoj tacki toga sedmougla je ?

"od kojega se nikoje tri i vise dijagonala ne sjeku u jednoj unutrasnjoj tacki" ovo me zbunjujer jer ne znam kako da ga nacrtam.

To znači, da nijedna od tačaka preseka dveju dijagonala ne sme pripadati i nekoj od preostalih dijagonala. To jest, unutar tog sedmougla ne postoje tačke u kojima se seku tri ili više dijagonala.

Takav sedmougao nacrtaš sasvim jednostavno, jer situacija da postoje tačke u kojima se seku tri ili više dijagonala spada u specijalne slučajeve. U opštem slučaju, preseke tri i više dijagonala nećemo imati.

Nacrtaj, recimo, pravilan sedmougao. Kod njega nećeš imati slučaj preseka tri dijagonale u jednoj tački, prema tome, biće ispunjen taj uslov zadatka.

Mada, ovde ti crtež i nije toliko bitan. Ovo se ne radi toliko pomoću geometrije, koliko pomoću kombinatorike, zato sam i prebacio temu u tu rubriku.

Ja sam mislio da je ovo geometrija tj uopste nemam blage veze kako se radi ovo preko kombinatorike ,jer je jos nisam ucio.A i ovo za dijagonale sedmougla mi nije jasno evo nasao sam neku animaciju https://www.geogebratube.org/student/m31598 kaze da ih ima [inlmath]14[/inlmath] to je meni malo nekako a iz jednog tjemena imaju [inlmath]4[/inlmath]

Broj dijagonala jeste [inlmath]14[/inlmath] i računa se po formuli [inlmath]D=\frac{1}{2}N\left(N-3\right)[/inlmath], gde je [inlmath]N[/inlmath] broj temena (ili stranica). Ali, to nije ono što se u ovom zadatku traži. U ovom zadataku se traži broj presečnih tačaka dijagonala u unutrašnjosti sedmougla. U unutrašnjosti – to znači da temena ne računamo. Ako ih na toj Geogebrinoj slici izbrojiš, videćeš da ih ima [inlmath]35[/inlmath].

A rešava se tako što uočiš da je svaka od tih presečnih tačaka određena sa [inlmath]4[/inlmath] temena sedmougla – dva temena koja spaja jedna dijagonala kojoj ta tačka pripada, plus dva temena koja spaja druga dijagonala kojoj ta tačka pripada. Znači, broj tih presečnih tačaka je jednak broju načina na koji od [inlmath]7[/inlmath] temena sedmougla možemo izabrati njih [inlmath]4[/inlmath].