MATEMANIJA

Dal bi neko znao riješiti ovaj zadatak:
Marko ima [inlmath]4[/inlmath] sadnice jabuka, [inlmath]6[/inlmath] sadnica smokvi i [inlmath]5[/inlmath] sadnica tresanja (sve međusobno razlicite). Na koliko nacina Marko navedene sadnice moze posaditi u jedan niz ako sadnice barem jedne vrste moraju stajati jedna do druge?

moj najveci problem je taj sto neznam kako zapoceti zadatak i kako sto oznaciti
pa ako ima ko bi znao ovo mi malo pojasniti

Šta znači „FUI“ u nazivu teme?

Označi sadnice jabuka sa [inlmath]J[/inlmath], sadnice smokava sa [inlmath]S[/inlmath] i sadnice trešanja sa [inlmath]T[/inlmath]. Tada će neke od mogućnosti biti sledeće:
[inlmath]\left.\begin{array}{l}
SSTSTTSJJJJTSST\\
JJJJSTTTSSTSSTS
\end{array}\right\}[/inlmath] – sadnice jabuka su jedna do druge
[inlmath]\left.\begin{array}{l}
TTJTJJJTSSSSSST\\
JJTTSSSSSSTTJTJ
\end{array}\right\}[/inlmath] – sadnice smokava su jedna do druge
[inlmath]JSJSSSJTTTTTSJS[/inlmath] – sadnice trešanja su jedna do druge
[inlmath]SSJJJJSSSTTTTTS[/inlmath] – sadnice jabuka su jedna do druge i sadnice trešanja su jedna do druge
[inlmath]\left.\begin{array}{l}
TTTTTJJJJSSSSSS\\
JJJJTTTTTSSSSSS
\end{array}\right\}[/inlmath] – sadnice jabuka su jedna do druge, sadnice smokava su jedna do druge i sadnice trešanja su jedna do druge
[inlmath]\cdots[/inlmath]

Kao mogućnost, recimo, otpada [inlmath]SJJTSSTJTTSSTJS[/inlmath], jer tada sadnice nijedne vrste ne stoje jedna do druge.

Pošto je rečeno da su sve sadnice međusobno različite, znači da bi, zapravo, sadnice jabuka trebalo posmatrati kao [inlmath]J_1[/inlmath], [inlmath]J_2[/inlmath], [inlmath]J_3[/inlmath] i [inlmath]J_4[/inlmath], isto važi i za sadnice smokava i trešanja, pa bi ovo trebalo posmatrati kao permutacije bez ponavljanja.

FUI je kratica za formulu ukljucivanja- iskljucivanja. to moram koristiti prilikom rijesavanja ovog zadatka. trebam li prvo promatrati sve mogucnosti kada poredani jedan do drugoga i onda da oduzmem kada nisu?

Aha, dobro. Temama treba davati pune nazive, zbog pretrage (što piše i u Pravilniku, tačka 9.) pa sam dopunio naziv teme.

Prvo odrediš broj svih mogućnosti kada su sadnice jabuka jedna do druge, zatim broj mogućnosti kada su sadnice smokava jedna do druge i broj mogućnosti kada su sadnice trešanja jedna do druge. Zatim brojeve tih mogućnosti sabereš, ali, pošto se tim sabiranjem dvaput računaju mogućnosti kada su sadnice dveju vrsta poređane jedna do druge, a triput računaju mogućnosti kada su sadnice sve tri vrste poređane jedna do druge, sada treba oduzeti brojeve mogućnosti kada su sadnice po dve vrste poređane jedna do druge, ali pošto se time, opet, triput oduzima broj mogućnosti kada su sadnice sve tri vrste poređane jedna do druge, sada taj broj mogućnosti treba još i dodati. A to upravo i jeste primena pomenute formule uključivanja-isključivanja.

Broj mogućnosti kada su sadnice jabuka jedna do druge (obeležimo ga sa [inlmath]N_J[/inlmath]) računaš tako što prvo sve sadnice jabuka posmatraš kao jedan element (jer se one ne mogu razdvajati), a ove ostale sadnice kao zasebne elemente. I na taj način, imaš [inlmath]1+6+5[/inlmath], tj. [inlmath]12[/inlmath] elemenata i tražiš njihove permutacije bez ponavljanja. Zatim još to pomnožiš brojem permutacija te [inlmath]4[/inlmath] sadnice jabuka unutar te njihove grupe. Znači, [inlmath]N_J=12!\cdot 4![/inlmath].

Na isti način izračunaš i broj mogućnosti kada su sadnice smokava, odnosno sadnice trešanja, jedna do druge ([inlmath]N_S[/inlmath] i [inlmath]N_T[/inlmath]).

Broj mogućnosti kada su npr. i sadnice jabuka jedna do druge, a i sadnice smokava jedna do druge (obeležimo taj broj sa [inlmath]N_{JS}[/inlmath]) računaš tako što sada i sadnice jabuka računaš kao jedan element a i sadnice smokava računaš kao jedan element, pa ukupno imaš [inlmath]1+1+5[/inlmath], tj. [inlmath]7[/inlmath] elemenata. Nađeš njihov broj permutacija. To zatim pomnožiš brojem mogućih permutacija [inlmath]4[/inlmath] jabuke unutar njihove grupe, kao i brojem mogućih permutacija [inlmath]6[/inlmath] smokava unutar njihove grupe.

Slično i za preostale slučajeve kada su po dve od tri vrste sadnica raspoređene jedna do druge (smokve i trešnje, [inlmath]N_{ST}[/inlmath], kao i jabuke i trešnje, [inlmath]N_{JT}[/inlmath]).

Na kraju nađeš broj mogućnosti kada su sve tri vrste sadnica raspoređene jedna do druge, [inlmath]N_{JST}[/inlmath].

Ostalo je još da primeniš formulu uključivanja-isključivanja, nakon čega dobijaš traženi broj mogućnosti, [inlmath]N[/inlmath]:
[dispmath]N=N_J+N_S+N_T-N_{JS}-N_{ST}-N_{JT}+N_{JST}[/dispmath]

UPS! navikla sam vec pisati samo kraticu a ne puni naziv, sorry
zahvaljujem se

zanima me jos samo zasto nigdje nismo koristili kombinacije? mislim kad nam je samo bitno kad su jabude poredane ali nam nije onda vazno kako su smokve i tresnje?
malo mi je konacni broj nacina mrvicu prevelik

Važno je i kako su poređane smokve i trešnje. U tekstu zadatka je rečeno da su sve sadnice međusobno različite. Znači, i sadnice jabuka se razlikuju među sobom, isto tako i sadnice smokava i krušaka.

Doduše, dopuštam mogućnost da sam pogrešno interpretirao tekst zadatka i da se to „sve međusobno razlicite“ odnosi na to da se sadnice jabuka razlikuju od sadnica smokava, kao i od sadnica trešanja, a da su sadnice jedne vrste međusobno identične (mada mi u tom slučaju „sve međusobno razlicite“ nema logike i izgleda mi suvišno, budući da znamo da sadnice različitih vrsta moraju biti međusobno različite). Ali, ni u tom slučaju ne bismo koristili kombinacije, već bismo takođe koristili permutacije ali s ponavljanjem. Kombinacije koristimo onda kada iz nekog skupa biramo proizvoljan broj elemenata, a ovde su iz skupa sadnica uvek odabrane sve sadnice.

Nemoj da te rezultat zbunjuje – u kombinatorici se vrlo često dešava da tačan rezultat bude mnogo veći nego što, po nekoj intuiciji, očekujemo.