MATEMANIJA

Zadan je broj [inlmath]n=5200[/inlmath]. Koliko ima djelitelja od [inlmath]n[/inlmath] i koliko je od toga parnih, a koliko neparnih.

Nakon što sam [inlmath]5200[/inlmath] rastavljao na proste faktore dobio sam [inlmath]n=5200=2^4\cdot 5^2\cdot 13[/inlmath]
Profesor je uradio ovako: napisao je [inlmath]5\cdot 3\cdot 2=30[/inlmath] djelitelja.
Neparni [inlmath]=3\cdot 2=6[/inlmath]
Parni [inlmath]=24[/inlmath].

Ne znam kako je dobio da je [inlmath]6[/inlmath] neparnih i [inlmath]24[/inlmath] parnih. ([inlmath]30-6=24[/inlmath], ali kako to dobiti postupno?)

Pomozite, hvala.

Ukupan broj delilaca je [inlmath]\tau (n)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots (\alpha_n+1)[/inlmath], gde su [inlmath]\alpha_i[/inlmath] ovi eksponenti iz faktorizacije. U ovom slucaju [inlmath](4+1)(2+1)(1+1)=30[/inlmath]. Broj neparnih je lakse odrediti (manje ih je). Odredjuju ih neparni brojevi u faktorizaciji, i njihovi proizvodi. To su [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath], [inlmath]5^2[/inlmath], [inlmath]13[/inlmath], [inlmath]13\cdot 5[/inlmath], [inlmath]13\cdot 5^2[/inlmath]. Dakle, ukupno [inlmath]6[/inlmath]. Preostala [inlmath]30-6[/inlmath] delioca su parna.

Hvala. To mi je sada jasno. Ostalo mi je još ovo nejasno: prof. nije napisao neparne [inlmath]1,5,5^2,13,13\cdot 5,13\cdot 5^2[/inlmath], nego je napisao [inlmath]3\cdot 2=6[/inlmath]. (Kako to?)

Molim i tebe i ostale da temama ne dajete ovakve uopštene nazive tipa „Kombinatorika“ i sl. (tačka 9. Pravilnika!)
Izmenio sam naziv u adekvatniji.

Profesor je radio tako što je zaključio da kod neparnih brojeva ne sme figurisati dvojka kao prosti činilac, tako da za njih treba u izrazu [inlmath]\left(\alpha_1+1\right)\left(\alpha_2+1\right)\cdots\left(\alpha_n+1\right)[/inlmath] uvrstiti [inlmath]\alpha_1=0[/inlmath] (jer [inlmath]\alpha_1[/inlmath] predstavlja eksponent dvojke) i onda ostaje [inlmath]\left(\alpha_2+1\right)\left(\alpha_3+1\right)[/inlmath], gde je [inlmath]\alpha_2=2[/inlmath] (eksponent petice) i [inlmath]\alpha_3=1[/inlmath] (eksponent trinaestice). I onda je to [inlmath]3\cdot 2=6[/inlmath].

Bio bi moguć i (neznatno komplikovaniji) način da se odrede svi parni delioci, tako što se zna da kod njih dvojka mora figurisati ili jednom, ili dvaput, ili triput, ili četiri puta. Znači, četiri mogućnosti. Prema tome, broj mogućnosti za dvojku (a to je četiri) treba pomnožiti brojem mogućnosti za ostale proste činioce (peticu i trinaesticu):
[dispmath]4\cdot\left(\alpha_2+1\right)\left(\alpha_3+1\right)=4\cdot 3\cdot 2=24[/dispmath]