MATEMANIJA

Imam jednu nejasnoću:

Na koliko načina se [inlmath]5[/inlmath] različitih voćki može podeliti između [inlmath]30[/inlmath] ljudi ako svaki dobije maksimalno [inlmath]1[/inlmath] voćku?

Rešenje je jasno, [inlmath]30\choose 5[/inlmath] pomnoženo s permutacijom od [inlmath]5![/inlmath]

A zadatak koji mi nije jasan:

Koliko se osmoslovnih (smislenih i besmislenih) reči može načiniti od [inlmath]30[/inlmath] slova abecede?

Rešenje je [inlmath]30\choose 8[/inlmath], zašto se ovde nije pomnožilo s permutacijom od [inlmath]8![/inlmath]

Hvala.

Treba da se množi sa [inlmath]8![/inlmath]. Ako nisu pomnožili sa [inlmath]8![/inlmath], onda je to greška.

Hajde da malo minimizujemo taj zadatak, tako što ćemo posmatrati slučaj kada nemamo [inlmath]30[/inlmath] već [inlmath]4[/inlmath] slova ([inlmath]A,B,C,D[/inlmath]) i kad od njih treba da sastavimo sve moguće reči koje imaju ne [inlmath]8[/inlmath], već [inlmath]2[/inlmath] slova. Zadatak sam minimizovao, kako bi bilo praktično ispisati sve moguće slučajeve, a to su:
[dispmath]\begin{array}{llll}
AB & BA & CA & DA\\
AC & BC & CB & DB\\
AD & BD & CD & DC
\end{array}[/dispmath]
Znači, ukupno [inlmath]12[/inlmath] mogućnosti. Ako bismo rezonovali na način kao u rešenju za tvoj zadatak, dobili bismo rezultat [inlmath]4\choose 2[/inlmath], a to je [inlmath]6[/inlmath], što se ne poklapa s praktičnom proverom. Ali, ako bismo sada to pomnožili sa [inlmath]2![/inlmath], kao što bi i u tvom zadatku to trebalo pomnožiti sa [inlmath]8![/inlmath], e tada bismo dobili [inlmath]12[/inlmath], i sve bi bilo u redu. Prema tome, u tvom rešenju je greška, definitivno.

Inače, u ovom slučaju što sam pokazao imamo varijacije bez ponavljanja od [inlmath]4[/inlmath] elementa [inlmath]2.[/inlmath] klase, dok u tvom zadatku imamo varijacije bez ponavljanja od [inlmath]30[/inlmath] elemenata [inlmath]8.[/inlmath] klase. Možeš, dakle, odmah i raditi po formuli za varijacije bez ponavljanja. Nije greška ni ako prvo odrediš broj kombinacija bez ponavljanja, pa to pomnožiš brojem permutacija bez ponavljanja, jer broj varijacija bez ponavljanja [inlmath]V_n^k[/inlmath] u opštem slučaju i jeste jednak proizvodu [inlmath]C_n^k[/inlmath] i [inlmath]P_k[/inlmath]:
[dispmath]C_n^k\cdot P_k={n\choose k}\cdot k!=\frac{n!}{\left(n-k\right)!\cdot\cancel{k!}}\cdot\cancel{k!}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}=V_n^k[/dispmath]

A zar nije da se ne mnozi sa [inlmath]8![/inlmath] jer nam nije bitan poredak slova, kao sto zadatak kaze (smislenih i besmislenih) rijeci, znaci imamo [inlmath]30[/inlmath] znakova koje mozemo slagati kako zelimo. i za svaki rijec biramo [inlmath]8[/inlmath] od [inlmath]30[/inlmath] znakova i to nam je za svaku rijec [inlmath]30\choose 8[/inlmath] mogucnosti?

Poredak slova jeste bitan, jer se u zadatku traži broj različitih reči (bez obzira na njihovu (bes)mislenost) koje se mogu formirati od [inlmath]8[/inlmath] izabranih slova iz skupa od ukupno [inlmath]30[/inlmath] slova.

Prema tvom tumačenju, primera radi, reč PODERATI, reč PODARITE i reč PORADITE bi se vodile kao jedna ista reč, jer se sve tri sastoje od istih slova? Tako nešto bi, čak i kad bi imalo logike (a nema) u tekstu zadatka moralo biti naglašeno (a nije).

Molim te, koristi Latex, ovde imaš uputstvo (tačka 13. Pravilnika).