MATEMANIJA

Imam zadatak: Resi jednacinu u skupu prirodnih brojeva
[dispmath]{2x\choose x+1}=\frac{2}{3}{2x+1\choose x-1}[/dispmath]
imam resenje, ceo postupak, ali mi u jednom delu nije jasno, evo
[dispmath]\frac{(2x)!}{(x+1)!(2x-x-1)!}=\frac{2}{3}\cdot\frac{(2x+1)!}{(x-1)!(2x+1-x+1)!}[/dispmath]
pa je dalje
[dispmath]\frac{1}{(x+1)!}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2x+1}{(x+2)!}[/dispmath][dispmath]1=\frac{2}{3}\cdot\frac{2x+1}{x+2}[/dispmath]
e sad mi nije jasno kako je on sveo ove zagrade, kako je izgubio ove permutacije da bi doveo na obican razlomak

nisam umeo lepo da napisem u latexu postavku zadatka, zabranilo mi je da vise menjam, ali to je i manje bitno, buni me deo u izradi zadatka

Korigovao sam ti Latex u postu. Zbunjuje te \choose komanda, jer je ona po svojoj sintaksi pomalo specifična. Bitno je da ceo binomni koeficijent staviš unutar vitičastih zagrada, npr. ako želiš da napišeš [inlmath]a+{b+c\choose d+e}\cdot f[/inlmath], to postižeš ovako:
a+{b+c\choose d+e}\cdot f
Mada imaš to objašnjeno i u uputstvu.

---

Što se tiče samog zadatka, samo je primenjena osobina faktorijela da važi [inlmath]\left(n+1\right)!=\left(n+1\right)\cdot n![/inlmath]. To je zbog toga što se [inlmath]\left(n+1\right)![/inlmath] može napisati kao:
[dispmath]\left(n+1\right)!=\left(n+1\right)\cdot\underbrace{n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n-2\right)\cdots3\cdot2\cdot1}_{n!}=\left(n+1\right)\cdot n![/dispmath]
(pisao sam o tome i u ovom tutorijalu, pred kraj poglavlja „Permutacije bez ponavljanja“)

i onda je to primenjeno na brojilac razlomka na desnoj strani jednačine:
[dispmath]\frac{\left(2x\right)!}{\left(x+1\right)!\left(2x-x-1\right)!}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\left(2x+1\right)!}{\left(x-1\right)!\left(2x+1-x+1\right)!}[/dispmath][dispmath]\frac{\cancel{\left(2x\right)!}}{\left(x+1\right)!\left(2x-x-1\right)!}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\left(2x+1\right)\cdot\cancel{\left(2x\right)!}}{\left(x-1\right)!\left(2x+1-x+1\right)!}[/dispmath]
Sredi se i imenilac (naravno, to preporučujem da radiš istovremeno sa sređivanjem brojioca, kako ne bi pisao nepotrebno mnogo redova, nego ja radim ovako postuno da bi bilo jasnije):
[dispmath]\frac{1}{\left(x+1\right)!\cancel{\left(x-1\right)!}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2x+1}{\cancel{\left(x-1\right)!}\left(x+2\right)!}[/dispmath][dispmath]\frac{1}{\left(x+1\right)!}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2x+1}{\left(x+2\right)!}[/dispmath]
zatim se na imenilac razlomka na desnoj strani opet primeni goreopisani identitet [inlmath]\left(n+1\right)!=\left(n+1\right)\cdot n![/inlmath],
[dispmath]\frac{1}{\cancel{\left(x+1\right)!}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{2x+1}{\left(x+2\right)\cdot\cancel{\left(x+1\right)!}}[/dispmath]
i dalje znaš...

U međuvremenu nađoh da smo prošle godine u ovoj temi imali identičan zadatak.