Nije mi potpuno jasno oko ovih binomnih koeficijenata i clanova. Prvi clan je [inlmath]n\choose0[/inlmath], drugi je [inlmath]n\choose1[/inlmath], treci [inlmath]n\choose2[/inlmath] i to je [inlmath]1+n+\frac{n(n - 1)}{2}[/inlmath] . Za drugi clan mi je jasno kako je dobijen, ali druga dva ne mogu da dobijem na isti nacin. I sta se desava kada ima vise clanova, kako da izracunam na primer cetvrti clan ili kad mi pise clan uz [inlmath]x^3[/inlmath] . Ako neko moze preko primera da mi objasni : Koef drugog clana u razvoju binoma [inlmath]\left(\frac{x}{\sqrt[2]y}+\frac{\sqrt[2]y}{x}\right)^n[/inlmath] odnosi se prema koeficijentu treceg clana kao [inlmath]2:11[/inlmath].Odredi peti clan

Znači, jasno ti je za [inlmath]n\choose1[/inlmath], a treba da se pojasni za [inlmath]n\choose0[/inlmath] i za [inlmath]n\choose2[/inlmath]?
Binomni koeficijent se definiše kao
[dispmath]{n\choose k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!\cdot k!},\quad k\in\left[0,n\right][/dispmath]
pa je odatle
[dispmath]{n\choose0}=\frac{n!}{\left(n-0\right)!\cdot0!}=\frac{\cancel{n!}}{\cancel{n!}\cdot0!}=\frac{1}{0!}[/dispmath]
[inlmath]0![/inlmath] je po definiciji [inlmath]1[/inlmath] (za detalje u vezi s tim pogledaj ovu temu) i možda je to ono što te ovde bunilo. Dakle, [inlmath]{n\choose0}=1[/inlmath].
[dispmath]{n\choose2}=\frac{n!}{\left(n-2\right)!\cdot2!}=\frac{n\left(n-1\right)\cancel{\left(n-2\right)!}}{\cancel{\left(n-2\right)!}\cdot2}=\frac{n\left(n-1\right)}{2}[/dispmath]
Preporučujem ti i da pogledaš ovaj tutorijal, poglavlje „Osobine binomnog koeficijenta“.

Maturant je napisao:Koef drugog clana u razvoju binoma [inlmath]\left(\frac{x}{\sqrt[2]y}+\frac{\sqrt[2]y}{x}\right)^n[/inlmath] odnosi se prema koeficijentu treceg clana kao [inlmath]2:11[/inlmath].Odredi peti clan

Za ovo ti je potrebno da znaš formulu za razvoj binoma:
[dispmath]\left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k=\\
=a^n+na^{n-1}b+{n\choose2}a^{n-2}b^2+{n\choose3}a^{n-3}b^3+\cdots+{n\choose n-3}a^3b^{n-3}+{n\choose n-2}a^2b^{n-2}+nab^{n-1}+b^n[/dispmath]
Prema tome, koeficijent uz [inlmath]k[/inlmath]-ti član razvoja dat je formulom [inlmath]n\choose k-1[/inlmath], a [inlmath]k[/inlmath]-ti član razvoja dat je formulom [inlmath]{n\choose k-1}a^{n-k+1}b^{k-1}[/inlmath]. To ti je sve što ovde treba da primeniš.
Znači, koeficijent uz [inlmath]1.[/inlmath] član razvoja je [inlmath]n\choose0[/inlmath], a [inlmath]1.[/inlmath] član razvoja je [inlmath]{n\choose0}a^{n-0}b^0[/inlmath], tj. [inlmath]a^n[/inlmath].
Koeficijent uz [inlmath]2.[/inlmath] član razvoja je [inlmath]n\choose1[/inlmath], a [inlmath]2.[/inlmath] član razvoja je [inlmath]{n\choose1}a^{n-1}b^1[/inlmath], tj. [inlmath]na^{n-1}b[/inlmath].
itd...

U tvom konkretnom primeru je [inlmath]a=\frac{x}{\sqrt y}[/inlmath] i [inlmath]b=\frac{\sqrt y}{x}[/inlmath] (nisam pisao dvojke kod kvadratnih korena, jer su nepotrebne, tj. kad se ne napiše broj kod korena, podrazumeva se drugi koren).
Prvo treba da iz podatka da se koeficijenti drugog i trećeg člana u razvoju ovog binoma odnose kao [inlmath]2:11[/inlmath] odrediš koliko je [inlmath]n[/inlmath].
[inlmath]n[/inlmath] će ti biti potrebno da bi izračunao peti član, prema formuli koju sam ti gore napisao.

Možda bi ti bile od koristi i sledeće teme na ovom forumu, u kojima smo takođe imali zadatke s razvojem binoma:
viewtopic.php?f=42&t=937
viewtopic.php?f=42&t=345
viewtopic.php?f=42&t=271
viewtopic.php?f=42&t=351
viewtopic.php?f=42&t=417
viewtopic.php?f=42&t=482