MATEMANIJA

Molim nekog za pomoć oko sledećeg zadatka, ne mogu ga rešiti nikako!

Jedna kutija sadrži [inlmath]p[/inlmath] belih i [inlmath]q[/inlmath] crnih kuglica od kojih je svaka različito numerisana. Ako se, posle svakog izvlačenja, izvučena kuglica vraća u kutiju, u koliko različitih slučajeva može među [inlmath]n[/inlmath] izvučenih kuglica biti tačno [inlmath]k[/inlmath] crnih? Razmotriti slučajeve:
(a) bitan je poredak izvučenih kuglica;
(b) nije bitan poredak izvučenih kuglica.

Unapred se zahvaljujem i izvinjavam ako je već neko postavio ovaj zadatak, nisam uspela pronaći nigde.

@Sinus Versus, pre svega pozdrav, i dobro došla na forum
Koliko ja znam, zaista nismo imali sličan zadatak.
Molim te da najpre pogledaš diskretne raspodele, a posebno binomnu raspodelu i u vezi s tim hipergeometrijsku i njeno svođenje na binomnu pod određenim uslovima (izvlačenje sa vraćanjem).
Pa da nastavimo.

@desideri Heej, bolje vas našla! : D
Proučila sam sad, ali nisam sigurna da sam shvatila ono što bi trebalo shvatiti, jer sam se malo pogubila u ovome, tj. nisam sigurna kako mogu raspodelu verovatnoće da upotrebim ovde jer, koliko sam skontala, zadatak je čisto iz kombinacija (tj. očigledno da nije, ali ne znam kako da ispovezujem to : D). Zato te molim, pomagaj.

Mislim, po mojoj nekoj logici, pod (a) bi bile varijacije sa ponavljanjem, a pod (b) kombinacije sa ponavljanjem.

@Sinus Versus, zadatak je žestok, ali najviše zbog nedorečenosti u samoj postavci.

Sinus Versus je napisao:Jedna kutija sadrži [inlmath]p[/inlmath] belih i [inlmath]q[/inlmath] crnih kuglica od kojih je svaka različito numerisana

Moje prvo pitanje glasi: kako numerisana?

Sinus Versus je napisao:Ako se, posle svakog izvlačenja, izvučena kuglica vraća u kutiju,

Ovo je binomna raspodela, čim se kuglica vraća u kutiju. Nisam hteo da te zbunim, verovatnoća je [inlmath]\frac{m}{n}[/inlmath] po Laplasu a kombinatorika je ili [inlmath]m[/inlmath] ili [inlmath]n[/inlmath]. Ako se razumemo, a nadam se da je tako .

Sinus Versus je napisao:u koliko različitih slučajeva može među [inlmath]n[/inlmath] izvučenih kuglica biti tačno [inlmath]k[/inlmath] crnih?

Ovde stvarno mora da se kaže šta je veće od čega, mislim na [inlmath]p+q[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath], a takođe na [inlmath]q[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath].

Sinus Versus je napisao:Mislim, po mojoj nekoj logici, pod (a) bi bile varijacije sa ponavljanjem, a pod (b) kombinacije sa ponavljanjem.

Tako nešto, kao što ti reče, ali je neophodno precizirati ovo što sam pomenuo.

Sinus Versus je napisao:(a) bitan je poredak izvučenih kuglica;
(b) nije bitan poredak izvučenih kuglica.

Kakav poredak?
To je baš u vezi s numeracijom, koju sam gore pomenuo. Poredak može različito da se tumači, kao i numeracija.
Da li si sigurna da baš tako glasi zadatak i koji je izvor?

desideri je napisao:Ovo je binomna raspodela, čim se kuglica vraća u kutiju. Nisam hteo da te zbunim, verovatnoća je [inlmath]\frac{m}{n}[/inlmath] po Laplasu a kombinatorika je ili [inlmath]m[/inlmath] ili [inlmath]n[/inlmath]. Ako se razumemo, a nadam se da je tako .

Pa šta je onda u pitanju od ta dva?

Da, sve navedeno je i meni bolo oči, ali sam kontala da je do mene. Zadatak je prekucan od reči do reči, a literatura je "Metodička zbirka zadataka za polaganje prijemnog ispita iz matematike sa rešenjima i pregledom teorije", autor Mirko S. Jovanović, ne znam koliko ti to znači nešto.
Tako da ja zapravo imam krajnje rešenje, ali šta vredi kad ne kapiram zadatak, a oni su se maksimalno potrudili da mi odmognu u tome.

Hvala puno što si navela izvor
To meni stvarno ne znači, nemam tu knjigu. Ali će značiti drugim korisnicima, veruj mi.
Evo ovako:
navedi ti to rešenje koje pominješ i svi ćemo shvatiti "šta je pisac hteo da kaže".
I onda ga protumačimo zajedno, jel' ok?

Hvala tebi za pomaganje.
Važi!
Evo rešenja:
[dispmath]\left(a\right)\quad{n\choose k}q^kp^{n-k}[/dispmath][dispmath]\left(b\right)\quad\overline C_q^k\cdot\overline C_p^{n-k}={q+k-1\choose k}{p+n-k-1\choose n-k}[/dispmath]

Da, i vidim da je ovo prvo čista binomna, ali ne kapiram ZAŠTO.

Ovo prvo je po formi, kako ti reče, "čista binomna", ali zapravo nije. Pošteno rečeno, i ja sam ti sugerisao da pogledaš binomnu raspodelu, kriv sam ako sam dodatno zakomplikovao. Hajde da "otkomplikujem"
Evo o čemu se radi:
[dispmath]P(X=x)={n\choose x}p^xq^{n-x}\quad x=0,1,\ldots,n\qquad p+q=1[/dispmath]
Ovo gore su verovatnoće binomne distribucije (raspodele). To znači da je jako bitno naglasiti da su [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] verovatnoće uspeha i neuspeha, brojevi od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath] čiji je zbir [inlmath]1[/inlmath].
Rešenje (ovo prvo) je ok, i sada mi je jasno na šta je autor mislio, ali to nije verovatnoća. Mnogo liči, ali nije.
Naime, [inlmath]p[/inlmath] je broj belih kuglica, [inlmath]q[/inlmath] je broj crnih kuglica i to su brojevi koji svakako nisu verovatnoće (ili su po jedan ili su više ili su čak nula, ali to mora da se naglasi u postavci, odakle dokle su). Takve oznake stvarno unose zabunu. Možda je autor hteo zapravo da pomogne, ali eto...

Idemo postupno:
Ako se izvlače jedna bela i jedna crna kuglica i bitan je redosled, broj načina je:
[dispmath]pq+qp={2\choose1}p^1q^{2-1}[/dispmath]
Ovo zato što jednu belu kuglicu biramo na [inlmath]p[/inlmath] načina i jednu crnu kuglicu biramo na [inlmath]q[/inlmath] načina, a potom, pošto je bitan redosled, zamenimo im mesta.

Hajde da probamo dve bele i jednu crnu:
[dispmath]{3\choose2}p^2q^{3-2}[/dispmath]
Hajde da probamo jednu belu i dve crne:
[dispmath]{3\choose1}p^1q^{3-1}[/dispmath]
Ja se nadam da smo sada razjasnili ovo prvo. Ako nismo, kaži
A za drugo ne mogu sada, žurim, ali je dobro i to drugo rešenje (po mom mišljenju).
I još nešto da ti preporučim, ne znam da li si pogledala. Naš administrator @Daniel je napisao sjajan tutorijal na temu kombinatorike.
Ako već nisi, pogledaj ovo, molim te, koristiće.
Pozdrav, nastavljamo temu