MATEMANIJA

Molim nekog za pomoć oko sledećeg zadatka, ne mogu ga rešiti nikako!

Jedna kutija sadrži [inlmath]p[/inlmath] belih i [inlmath]q[/inlmath] crnih kuglica od kojih je svaka različito numerisana. Ako se, posle svakog izvlačenja, izvučena kuglica vraća u kutiju, u koliko različitih slučajeva može među [inlmath]n[/inlmath] izvučenih kuglica biti tačno [inlmath]k[/inlmath] crnih? Razmotriti slučajeve:
(a) bitan je poredak izvučenih kuglica;
(b) nije bitan poredak izvučenih kuglica.

Unapred se zahvaljujem i izvinjavam ako je već neko postavio ovaj zadatak, nisam uspela pronaći nigde.

@Sinus Versus, pre svega pozdrav, i dobro došla na forum
Koliko ja znam, zaista nismo imali sličan zadatak.
Molim te da najpre pogledaš diskretne raspodele, a posebno binomnu raspodelu i u vezi s tim hipergeometrijsku i njeno svođenje na binomnu pod određenim uslovima (izvlačenje sa vraćanjem).
Pa da nastavimo.

@desideri Heej, bolje vas našla! : D
Proučila sam sad, ali nisam sigurna da sam shvatila ono što bi trebalo shvatiti, jer sam se malo pogubila u ovome, tj. nisam sigurna kako mogu raspodelu verovatnoće da upotrebim ovde jer, koliko sam skontala, zadatak je čisto iz kombinacija (tj. očigledno da nije, ali ne znam kako da ispovezujem to : D). Zato te molim, pomagaj.

Mislim, po mojoj nekoj logici, pod (a) bi bile varijacije sa ponavljanjem, a pod (b) kombinacije sa ponavljanjem.

@Sinus Versus, zadatak je žestok, ali najviše zbog nedorečenosti u samoj postavci.

Sinus Versus je napisao:Jedna kutija sadrži [inlmath]p[/inlmath] belih i [inlmath]q[/inlmath] crnih kuglica od kojih je svaka različito numerisana

Moje prvo pitanje glasi: kako numerisana?

Sinus Versus je napisao:Ako se, posle svakog izvlačenja, izvučena kuglica vraća u kutiju,

Ovo je binomna raspodela, čim se kuglica vraća u kutiju. Nisam hteo da te zbunim, verovatnoća je [inlmath]\frac{m}{n}[/inlmath] po Laplasu a kombinatorika je ili [inlmath]m[/inlmath] ili [inlmath]n[/inlmath]. Ako se razumemo, a nadam se da je tako .

Sinus Versus je napisao:u koliko različitih slučajeva može među [inlmath]n[/inlmath] izvučenih kuglica biti tačno [inlmath]k[/inlmath] crnih?

Ovde stvarno mora da se kaže šta je veće od čega, mislim na [inlmath]p+q[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath], a takođe na [inlmath]q[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath].

Sinus Versus je napisao:Mislim, po mojoj nekoj logici, pod (a) bi bile varijacije sa ponavljanjem, a pod (b) kombinacije sa ponavljanjem.

Tako nešto, kao što ti reče, ali je neophodno precizirati ovo što sam pomenuo.

Sinus Versus je napisao:(a) bitan je poredak izvučenih kuglica;
(b) nije bitan poredak izvučenih kuglica.

Kakav poredak?
To je baš u vezi s numeracijom, koju sam gore pomenuo. Poredak može različito da se tumači, kao i numeracija.
Da li si sigurna da baš tako glasi zadatak i koji je izvor?

desideri je napisao:Ovo je binomna raspodela, čim se kuglica vraća u kutiju. Nisam hteo da te zbunim, verovatnoća je [inlmath]\frac{m}{n}[/inlmath] po Laplasu a kombinatorika je ili [inlmath]m[/inlmath] ili [inlmath]n[/inlmath]. Ako se razumemo, a nadam se da je tako .

Pa šta je onda u pitanju od ta dva?

Da, sve navedeno je i meni bolo oči, ali sam kontala da je do mene. Zadatak je prekucan od reči do reči, a literatura je "Metodička zbirka zadataka za polaganje prijemnog ispita iz matematike sa rešenjima i pregledom teorije", autor Mirko S. Jovanović, ne znam koliko ti to znači nešto.
Tako da ja zapravo imam krajnje rešenje, ali šta vredi kad ne kapiram zadatak, a oni su se maksimalno potrudili da mi odmognu u tome.

Hvala puno što si navela izvor
To meni stvarno ne znači, nemam tu knjigu. Ali će značiti drugim korisnicima, veruj mi.
Evo ovako:
navedi ti to rešenje koje pominješ i svi ćemo shvatiti "šta je pisac hteo da kaže".
I onda ga protumačimo zajedno, jel' ok?

Hvala tebi za pomaganje.
Važi!
Evo rešenja:
[dispmath]\left(a\right)\quad{n\choose k}q^kp^{n-k}[/dispmath][dispmath]\left(b\right)\quad\overline C_q^k\cdot\overline C_p^{n-k}={q+k-1\choose k}{p+n-k-1\choose n-k}[/dispmath]

Da, i vidim da je ovo prvo čista binomna, ali ne kapiram ZAŠTO.

Ovo prvo je po formi, kako ti reče, "čista binomna", ali zapravo nije. Pošteno rečeno, i ja sam ti sugerisao da pogledaš binomnu raspodelu, kriv sam ako sam dodatno zakomplikovao. Hajde da "otkomplikujem"
Evo o čemu se radi:
[dispmath]P(X=x)={n\choose x}p^xq^{n-x}\quad x=0,1,\ldots,n\qquad p+q=1[/dispmath]
Ovo gore su verovatnoće binomne distribucije (raspodele). To znači da je jako bitno naglasiti da su [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] verovatnoće uspeha i neuspeha, brojevi od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath] čiji je zbir [inlmath]1[/inlmath].
Rešenje (ovo prvo) je ok, i sada mi je jasno na šta je autor mislio, ali to nije verovatnoća. Mnogo liči, ali nije.
Naime, [inlmath]p[/inlmath] je broj belih kuglica, [inlmath]q[/inlmath] je broj crnih kuglica i to su brojevi koji svakako nisu verovatnoće (ili su po jedan ili su više ili su čak nula, ali to mora da se naglasi u postavci, odakle dokle su). Takve oznake stvarno unose zabunu. Možda je autor hteo zapravo da pomogne, ali eto...

Idemo postupno:
Ako se izvlače jedna bela i jedna crna kuglica i bitan je redosled, broj načina je:
[dispmath]pq+qp={2\choose1}p^1q^{2-1}[/dispmath]
Ovo zato što jednu belu kuglicu biramo na [inlmath]p[/inlmath] načina i jednu crnu kuglicu biramo na [inlmath]q[/inlmath] načina, a potom, pošto je bitan redosled, zamenimo im mesta.

Hajde da probamo dve bele i jednu crnu:
[dispmath]{3\choose2}p^2q^{3-2}[/dispmath]
Hajde da probamo jednu belu i dve crne:
[dispmath]{3\choose1}p^1q^{3-1}[/dispmath]
Ja se nadam da smo sada razjasnili ovo prvo. Ako nismo, kaži
A za drugo ne mogu sada, žurim, ali je dobro i to drugo rešenje (po mom mišljenju).
I još nešto da ti preporučim, ne znam da li si pogledala. Naš administrator @Daniel je napisao sjajan tutorijal na temu kombinatorike.
Ako već nisi, pogledaj ovo, molim te, koristiće.
Pozdrav, nastavljamo temu

Jaoo, slavljen bio desideri!! Hvala puno. : D Jasno sve, znači to na neku foru indukcije može da se radi? : D
Pogledala sam ovo iz kombinatorike, hvala, sad ću da probam da prokljuvim ovo drugo. : D

Prvo, @Sinus Versus, dobrodošlica i od mene. Ali, moram odmah da te zamolim da se upoznaš s Pravilnikom našeg foruma – formule se ne kače kao screenshotovi, već se kucaju u Latexu. Osim toga, prilikom postavljanja zadatka, uvek treba da navedeš sve podatke u vezi s tim zadatkom koji su ti dostupni, uključujući i postupak iz zbirke i krajnji rezultat i da navedeš šta ti tačno nije jasno. Tako da, ubuduće, nemoj čekati da te mi zamolimo, već odmah sama napiši sve što treba.

Što se tiče zadatka pod a) – pokušao bih da to objasnim na još jedan način. U kutiji, dakle, imamo [inlmath]p[/inlmath] belih i [inlmath]q[/inlmath] crnih kuglica. Dve stvari su vrlo bitne – da su kuglice numerisane (tj. bele kuglice se razlikuju među sobom, isto tako i crne) i izvlačenje se vrši s vraćanjem (što znači da je jednu istu kuglicu moguće izvući više puta). Posmatramo broj načina na koje ćemo od [inlmath]n[/inlmath] izvlačenja [inlmath]k[/inlmath] puta izvući crnu kuglicu, što znači da u preostalih [inlmath]\left(n-k\right)[/inlmath] izvlačenja moramo izvući belu.
Hajde prvo da posmatramo tih [inlmath]\left(n-k\right)[/inlmath] izvlačenja čiji je ishod bio izvučena bela kuglica. Tokom prvog od tih [inlmath]\left(n-k\right)[/inlmath] izvlačenja mogli smo izvući bilo koju od [inlmath]p[/inlmath] belih kuglica. Znači, broj mogućih ishoda prvog od tih [inlmath]\left(n-k\right)[/inlmath] izvlačenja belih kuglica je [inlmath]p[/inlmath]. Zatim to množimo brojem mogućih ishoda drugog izvlačenja – a to je takođe [inlmath]p[/inlmath], jer smo ovu prethodno izvučenu belu kuglicu u međuvremenu vratili u kutiju, tako da je ona opet „u igri“. Pa onda dosadašnji rezultat, [inlmath]p^2[/inlmath], množimo brojem mogućih ishoda trećeg od tih [inlmath]\left(n-k\right)[/inlmath] izvlačenja bele kuglice, a to je opet [inlmath]p[/inlmath]... i tako do [inlmath]\left(n-k\right)[/inlmath]-tog izvlačenja bele kuglice, koje takođe može imati [inlmath]p[/inlmath] ishoda, čime dobijamo broj načina [inlmath]p^{n-k}[/inlmath].
Zatim to treba pomnožiti brojem načina na koji možemo [inlmath]k[/inlmath] puta izvući crnu kuglicu. To određujemo na vrlo sličan način. Pri prvom izvlačenju crne kuglice, to možemo učiniti na [inlmath]q[/inlmath] načina, jer u kutiji imamo [inlmath]q[/inlmath] crnih kuglica. Pošto nakon svakog izvlačenja vraćamo izvučenu kuglicu nazad u kutiju, znači da i pri drugom izvlačenju crnu možemo izvući na [inlmath]q[/inlmath] načina, što zasad daje [inlmath]q^2[/inlmath]... I tako do [inlmath]k[/inlmath]-tog izvlačenja crne kuglice, što daje ukupno [inlmath]q^k[/inlmath].
Prema tome, dosad imamo rezultat [inlmath]p^{n-k}q^k[/inlmath].

E sad, treba još videti na koliko načina mogu biti, prema redosledu izvlačenja, raspoređene te izvučene bele i crne kuglice. Posmatrajmo jedan od mogućih ishoda izvlačenja:
[dispmath]\underset{\large14}{\huge\circ}\underset{\large5}{\huge\circ}\underset{\large8}{\huge\bullet}\underset{\large11}{\huge\bullet}\underset{\large17}{\huge\circ}\underset{\large6}{\huge\circ}\underset{\large5}{\huge\circ}\underset{\large9}{\huge\bullet}\underset{\large8}{\huge\bullet}\underset{\large17}{\huge\circ}\underset{\large4}{\huge\bullet}[/dispmath]
U ovom primeru bilo je [inlmath]11[/inlmath] izvlačenja, a crne kuglice (numerisane brojevima [inlmath]4,8,8,9,11[/inlmath]) izvučene su u trećem, četvrtom, osmom, devetom i jedanaestom izvlačenju.
Međutim, iste ove kuglice mogle su biti izvučene i drugačijim redosledima:
[dispmath]\underset{\large9}{\huge\bullet}\underset{\large11}{\huge\bullet}\underset{\large4}{\huge\bullet}\underset{\large17}{\huge\circ}\underset{\large5}{\huge\circ}\underset{\large6}{\huge\circ}\underset{\large8}{\huge\bullet}\underset{\large14}{\huge\circ}\underset{\large17}{\huge\circ}\underset{\large5}{\huge\circ}\underset{\large8}{\huge\bullet}[/dispmath][dispmath]\underset{\large5}{\huge\circ}\underset{\large14}{\huge\circ}\underset{\large17}{\huge\circ}\underset{\large8}{\huge\bullet}\underset{\large6}{\huge\circ}\underset{\large9}{\huge\bullet}\underset{\large5}{\huge\circ}\underset{\large8}{\huge\bullet}\underset{\large11}{\huge\bullet}\underset{\large4}{\huge\bullet}\underset{\large17}{\huge\circ}[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath]
Od ukupno [inlmath]n[/inlmath] pozicija (koliko je bilo izvlačenja) crne kuglice se mogu rasporediti na [inlmath]k[/inlmath] pozicija (koliko je bilo izvučenih crnih kuglica). Na koliko načina od ukupno [inlmath]n[/inlmath] pozicija možemo odabrati [inlmath]k[/inlmath] pozicija na kojima će se naći crne kuglice? To pitanje je ekvivalentno pitanju na koliko načina iz skupa od [inlmath]n[/inlmath] elemenata možemo odabrati [inlmath]k[/inlmath] elemenata pri čemu redosled tih [inlmath]k[/inlmath] elemenata nije bitan. To su, naravno, kombinacije bez ponavljanja od [inlmath]n[/inlmath] elemenata [inlmath]k[/inlmath]-te klase, a njihov broj iznosi [inlmath]n\choose k[/inlmath]. Zbog toga onaj prethodno dobijeni rezultat, [inlmath]p^{n-k}q^k[/inlmath], sada još treba da pomnožimo sa [inlmath]n\choose k[/inlmath] i time dobijamo konačan rezultat pod a), a koji glasi [inlmath]{n\choose k}p^{n-k}q^k[/inlmath].

Prilikom određivanja mogućih načina raspoređivanja, mogli smo, umesto crnih, posmatrati bele kuglice, kojih ima [inlmath]\left(n-k\right)[/inlmath]. Analognim razmišljanjem, kao broj mogućih rasporeda dobili bismo [inlmath]n\choose n-k[/inlmath], a to je, prema osobinama binomnog koeficijenta, isto što i [inlmath]n\choose k[/inlmath].

To što je ova dobijena formula vrlo slična formuli za pomenutu binomnu raspodelu, nije slučajno – vrlo sličan rezon se upravo primenjuje i pri izvođenju formule za binomnu raspodelu, s tom razlikom što tamo [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] ne predstavljaju brojeve belih odnosno crnih kuglica, već verovatnoće nekog događaja i komplementa tog događaja.

@Daniel, u redu, izvinjavam se, pazim ubuduće!
Dakle, radi se o oblasti kombinatorika u gorepomenutoj zbirci, 69. zadatak.

Hvala puno za objašnjenje, sve je jasno!

Što se tiče dela pod (b), mislim da sam shvatila kako da rešim, ali taj deo iznosim sutra (u Latexu ) jer sad moram ići.

Važi.
Evo još jedne ideje za rešenje pod a), ovog puta preko teorije verovatnoće i binomne raspodele, za šta mi je ideju dao Desideri.

Znamo da se verovatnoća definiše kao
[dispmath]p=\frac{\mbox{broj povoljnih slučajeva}}{\mbox{ukupan broj slučajeva}}[/dispmath]
odakle je
[dispmath]\mbox{broj povoljnih slučajeva}=p\cdot\left(\mbox{ukupan broj slučajeva}\right)[/dispmath]
Verovatnoću u ovom slučaju lako određujemo koristeći formulu za binomnu raspodelu – verovatnoća da je prilikom [inlmath]n[/inlmath] izvlačenja [inlmath]k[/inlmath] puta izvučena crna kuglica iznosi:
[dispmath]P\left(X=k\right)={n\choose k}\big(P\left(B\right)\big)^{n-k}\big(P\left(C\right)\big)^k[/dispmath]
gde je
[inlmath]P\left(B\right)[/inlmath] – verovatnoća da je prilikom jednog izvlačenja izvučena bela kuglica i ona iznosi [inlmath]P\left(B\right)=\frac{p}{p+q}[/inlmath];
[inlmath]P\left(C\right)[/inlmath] – verovatnoća da je prilikom jednog izvlačenja izvučena crna kuglica i ona iznosi [inlmath]P\left(C\right)=\frac{q}{p+q}[/inlmath].
Prema tome,
[dispmath]P\left(X=k\right)={n\choose k}\left(\frac{p}{p+q}\right)^{n-k}\left(\frac{q}{p+q}\right)^k\\
P\left(X=k\right)={n\choose k}\frac{p^{n-k}q^k}{\left(p+q\right)^n}[/dispmath]
Ukupan broj slučajeva, budući da je redosled izvlačenja bitan i da se kuglice nakon svakog izvlačenja vraćaju u kutiju, predstavlja broj varijacija s ponavljanjem od [inlmath]\left(p+q\right)[/inlmath] elemenata (koliko ukupno ima kuglica) [inlmath]n[/inlmath]-te klase (koliko ima izvlačenja):
[dispmath]\mbox{ukupan broj slučajeva}=\overline V_{p+q}^n=\left(p+q\right)^n[/dispmath]
Prema tome, broj povoljnih slučajeva, a to je ono što tražimo, iznosiće
[dispmath]\mbox{broj povoljnih slučajeva}=P\left(X=k\right)\cdot\left(\mbox{ukupan broj slučajeva}\right)=\\
={n\choose k}\frac{p^{n-k}q^k}{\cancel{\left(p+q\right)^n}}\cdot\cancel{\left(p+q\right)^n}=\enclose{box}{{n\choose k}p^{n-k}q^k}[/dispmath]

@Daniel stvarno svaka čast za ovo, jesam ja to intuitivno hteo, no ti si uobličio i konkretizovao

desideri je napisao:@Daniel stvarno svaka čast za ovo

Slažem se, hvala puno, sad ima smisla sve! : )

Pošto mi je sad jasno šta je pisac hteo reći u postavci zadatka, da iznesem svoje shvatanje ovog pod (b).
Dakle, pošto je navedeno da nije bitan poredak izvučenih kuglica, radi se o kombinacijama i to sa ponavljanjem (jer se kuglice vraćaju, pa izvlače ponovo).
Ako je ukupan broj izvučenih kuglica [inlmath]n[/inlmath], a tražimo slučaj kada među tim brojem ima [inlmath]k[/inlmath] crnih, belih će biti [inlmath]n-k[/inlmath]. Tako od početnog broja [inlmath]q[/inlmath] crnih kuglica izvlačimo [inlmath]k[/inlmath] crnih kuglica, a od početnog broja [inlmath]p[/inlmath] belih kuglica izvlačimo [inlmath]n-k[/inlmath] belih kuglica, i ta dva pomnožimo, što odgovara:
[dispmath]\overline C_q^k\cdot\overline C_p^{n-k}={q+k-1\choose k}\cdot{p+n-k-1\choose n-k}[/dispmath]
što zapravo korespondira sa datim rešenjem.

Upravo tako.
Jedino mislim da je reč početnog suvišna, jer, budući da kuglice posle svakog izvlačenja vraćamo u kutiju, [inlmath]q[/inlmath] neće biti početni broj crnih kuglica, već će to u svakom trenutku biti broj crnih kuglica. Isto važi i za [inlmath]p[/inlmath].
A inače, razmišljanje ti je sasvim tačno.

Da, u pravu si, loše sam se izrazila.
Onda je to raščišćeno, hvala puno za pomoć!