MATEMANIJA

Koliko se petocifrenih brojeva može obrazovati od cifara [inlmath]0,1,3,5,7,9[/inlmath] tako da se cifra [inlmath]0[/inlmath] ne nalazi ni na prvom ni na poslijednjem mjestu a i da se nijedna cifra ne ponavlja?

Zadatak na prvi pogled uopšte ne izgleda komplikovano. Riješio sam ga intuitinvo jednim dijelim i naravno rješenje dobro. Neke stvari mi nisu jasne kod ovog zadatka i ostao mi je nerastumačen.
[inlmath]V^5_6=\frac{6!}{(6-5)!}=6!=720[/inlmath] - to je broj svih varijacija bez ponavljanja pete kalse od [inlmath]6[/inlmath] elemenata
[inlmath]V^4_5=\frac{5!}{(5-4)!}=5!=120[/inlmath] - i tako bi trebalo dva puta jer nula ne može biti ni na prvome ni na zadnjem mjestu. Ovo me zbunjuje, važilo bi da imamo [inlmath]5[/inlmath] a ne [inlmath]6[/inlmath] elemenata. Možda treba posmatrati dva elementa kao jedan ali uglavnom nije mi jasan ovaj dio. U rješenju piše [inlmath]480[/inlmath]. To se može dobiti iz ovog ali sada pitanje je koliko je to ispravno?

ne treba ih posmatrati kao jedan elemenat, ti si dobio sve varijacije - uracunate su one i koje pocinju sa [inlmath]0[/inlmath] i koje zavrsavaju sa [inlmath]0[/inlmath], sada od ukupnog broja moras oduzeti one koje pocinju sa [inlmath]0[/inlmath] i koje zavrsavaju sa [inlmath]0[/inlmath]... e sad, sto se tice onih sto pocinju sa [inlmath]0[/inlmath] ili se zavrsavaju za [inlmath]0[/inlmath], varijacije one inace imaju [inlmath]5[/inlmath] elemenata skupa, ali u ovom slucaju je vec uracunata [inlmath]0[/inlmath] na prvom ili zadnjem mjestu tako da trebas jos [inlmath]4[/inlmath] elementa da bi dobio jedan petocifren broj, to znaci da ces traziti varijacije [inlmath]4[/inlmath]. klase elemenata istog onog skupa bez nule jer nju vec imas na prvom ili na zadnjem mjestu (varijacije bez ponavljanja)

Mislim da mi je sada jasno, jedino što me je malo zbunjivalo je tih šest elemenata. A kada se formiraju varijacije pete klase one će biti formirane od [inlmath]6[/inlmath] elemenata. Tako samo treba njih da posmatarmo tih [inlmath]5[/inlmath] elemenata.

Dobro sve ovo, nego ja rekoh da nastavim temu.

Koliko je parnih četvorocifrenih brojeva čije su sve cifre međusobno različite?
Rezultat je [inlmath]2296[/inlmath].

Kako objasniti?

[inlmath]\_\:\_\:\_\:0[/inlmath] nula se vec nalazi na zadnjem mjestu (moraju biti sve razlicite cifre - ne moze se nalaziti na prvom mjestu)
[inlmath]\_\:\_\:\_\:2[/inlmath] nula moze biti na prvom mjestu
[inlmath]\_\:\_\:\_\:4[/inlmath] nula moze biti na prvom mjestu
[inlmath]\_\:\_\:\_\:6[/inlmath] nula moze biti na prvom mjestu
[inlmath]\_\:\_\:\_\:8[/inlmath] nula moze biti na prvom mjestu


[inlmath]5\cdot[/inlmath] (varijacije bez ponavljanja [inlmath]3.[/inlmath] klase skupa od [inlmath]9[/inlmath] elemenata) [inlmath]-\:4\cdot[/inlmath] (varijacije bez ponavanja [inlmath]2.[/inlmath] klase skupa od [inlmath]8[/inlmath] elemenata)

@Siniša, zanimalo bi me ako možeš da pojasniš svoj postupak, vidim da dobijaš tačno rešenje, ali postupak nikako ne uspevam da shvatim.

A evo i mog postupka:
Nula se može pojavljivati na drugoj, trećoj ili četvrtoj poziciji, a može se uopšte i ne pojavljivati – jedino se ne sme pojaviti na prvoj poziciji, jer bi to onda bio trocifreni broj.
– slučaj [inlmath]\star\;0\star\star[/inlmath] (nula na drugom mestu): na četvrtu poziciju može doći neka od parnih cifara, a njih ima [inlmath]4[/inlmath] (nula je već iskorišćena); za preostala [inlmath]2[/inlmath] mesta imamo na raspolaganju još [inlmath]8[/inlmath] cifara, što predstavlja varijacije bez ponavljanja od [inlmath]8[/inlmath] elemenata [inlmath]2.[/inlmath] klase; dakle, [inlmath]4V_8^2[/inlmath].
– slučaj [inlmath]\star\star\;0\star[/inlmath] (nula na trećem mestu): identično objašnjenje kao i za prethodni slučaj; dakle, [inlmath]4V_8^2[/inlmath].
– slučaj [inlmath]\star\star\star\;0[/inlmath] (nula na četvrtom mestu): za preostala [inlmath]3[/inlmath] mesta imamo na raspolaganju još [inlmath]9[/inlmath] cifara, što predstavlja varijacije bez ponavljanja od [inlmath]9[/inlmath] elemenata [inlmath]3.[/inlmath] klase; dakle, [inlmath]V_9^3[/inlmath].
– slučaj [inlmath]\star\star\star\star[/inlmath] (nula se ne pojavljuje): na četvrtu poziciju može doći neka od parnih cifara, a njih ima [inlmath]4[/inlmath] (nula se, prema uslovu ovog slučaja, ne pojavljuje); za preostala [inlmath]3[/inlmath] mesta imamo na raspolaganju još [inlmath]8[/inlmath] cifara, što predstavlja varijacije bez ponavljanja od [inlmath]8[/inlmath] elemenata [inlmath]3.[/inlmath] klase; dakle, [inlmath]4V_8^3[/inlmath].

Znači, ukupan broj traženih četvorocifrenih brojeva iznosi:
[dispmath]4V_8^2+4V_8^2+V_9^3+4V_8^3=4\cdot8\cdot7+4\cdot8\cdot7+9\cdot8\cdot7+4\cdot8\cdot7\cdot6=8\cdot7\left(4+4+9+4\cdot6\right)=2296[/dispmath]

prvo nadjem sve varijacije koje se zavrsavaju parnim brojevima, a nakon toga oduzmem one koje pocinju nulom... u [inlmath]1.[/inlmath] slucaju nula je vec iskoristena, a u naredna [inlmath]4[/inlmath] slucaja nije...

[inlmath]0\:\_\:\_\:2\\
0\:\_\:\_\:4\\
0\:\_\:\_\:6\\
0\:\_\:\_\:8[/inlmath]

-ove varijacije oduzimam, one koje pocinju sa nulom... to su varijacije bez ponavljanja [inlmath]2.[/inlmath] klase skupa od [inlmath]8[/inlmath] elemenata (skup ima [inlmath]10[/inlmath] ali je vec iskorstena nula i jedan paran broj)

@Gamma Ne znam je l' ti ovako malo jasnije, ali hajde da napišem.
Ukupan broj varijacija je [inlmath]720[/inlmath], kao što si i izračunao. Od toga treba oduzeti broj varijacija koje počinju nulom i broj varijacija koje se njome završavaju. Ako fiksiramo nulu kao prvi broj, na drugo mesto možeš staviti jedan pet brojeva, na sledeće jedan od četiri, itd. (jer se cifre razlikuju). To bi izgledalo ovako:
[dispmath]0\:\underline{(5)}\:\underline{(4)}\:\underline{(3)}\:\underline{(2)}[/dispmath]
Proizvod ovoga je [inlmath]120[/inlmath].
Pošto je slučaj isti ako nulu fiksiramo kao poslednji broj, zbog toga [inlmath]120[/inlmath] pomnožimo sa dva i dobićemo [inlmath]240[/inlmath], što kad se oduzme od ukupnog broja varijacija, odnosno od [inlmath]720[/inlmath] u ovom slučaju, daje traženo rešenje tj. [inlmath]480[/inlmath]

Na istu foru može i ovo za parne da se radi.

Dobro Sinus, Siniša je već razjasnio problematiku