MATEMANIJA

Ne mogu nikako da se oslobodim faktorijela. Može se zaključiti intuitivno da je rješenje [inlmath]x=4[/inlmath]. Ali sigurno postoji način da se izrazi samo [inlmath]x[/inlmath]. Evo ide i moj postupak pa da vidite gdje sam zaglavio.
[dispmath]V^3_x+3V^2_x=\frac{1}{2}P_{(x+1)}[/dispmath][dispmath]\frac{x!}{(x-3)!}+3\frac{x!}{(x-2)!}=\frac{1}{2}(x+1)![/dispmath][dispmath]2+\frac{6}{x-2}=(x+1)(x-3)![/dispmath]

@Gamma, ovo je deo u postupku izrade zadatka.
Žašto ne postaviš ceo zadatak?
A stvarno mi nije jasno kako si ovo skraćivao. Na primer:
[dispmath]\frac{x!}{(x-3)!}=\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)!}{(x-3)!}=x(x-1)(x-2)[/dispmath]

Evo i da dopunim odgovor, ne može se skratiti tvoja jednačina bez uslova da je [inlmath]x\ne0[/inlmath] kao i [inlmath]x\ne1[/inlmath] i [inlmath]x\ne2[/inlmath].
Zato nam treba ceo zadatak.

Evo ide cio postupak. Nema puno.
[dispmath]V^3_x+3V^2_x=\frac{1}{2}P_{(x+1)}[/dispmath][dispmath]\frac{x!}{(x-3)!}+3\frac{x!}{(x-2)!}=\frac{1}{2}(x+1)![/dispmath][dispmath]\frac{x(x-1)(x-2)\cancel{(x-3)!}}{\cancel{(x-3)!}}+3\frac{x(x-1)\cancel{(x-2)!}}{\cancel{(x-2)!}}=\frac{1}{2}(x+1)![/dispmath][dispmath]\left.x(x-1)(x-2)+3x(x-1)=\frac{1}{2}(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)!\quad\right/:x(x-1)(x-2)[/dispmath][dispmath]\left.1+\frac{3}{x-2}=\frac{1}{2}(x+1)(x-3)!\quad\right/\cdot2[/dispmath][dispmath]2+\frac{6}{x-2}=(x+1)(x-3)![/dispmath]

Sve sam ovo i ja dobio, uz uslove: [inlmath]x\ne0\quad x\ne1\quad x\ne2[/inlmath]
No to ovde nije toliko bitno. Ja koliko vidim, faktorijel se ne može skratiti. Nisu sigurno na ovo mislili, tako da te opet molim da postuješ ceo zadatak, rešavamo ga sigurno. Dakle, postavku Gamma, postavi zadatak.

Ne razumijem kakvu postavku? Šta da postavim? Ovako piše "Riješiti jednačinu po [inlmath]x[/inlmath]". I jednačina glasi [inlmath]V^3_x+3V^2_x=\frac{1}{2}P_{(x+1)}[/inlmath]

Nisam razumeo. Dakle ovo je postavka zadatka i treba naći [inlmath]x[/inlmath]?
[dispmath]V^3_x+3V^2_x=\frac{1}{2}P_{(x+1)}[/dispmath]
Ja sam mislio da je ovo neki tekstualni kombinatorni zadatak, izvinjavam ti se.

Tako je, nikakav tekstualni zadatak samo treba riješiti jednačinu po [inlmath]x[/inlmath]. Problem je kako se osloboditi faktorijela?

Evo vidi ovu ideju:
[dispmath]\frac{x!}{(x-3)!}+3\frac{x!}{(x-2)!}=\frac{1}{2}(x+1)![/dispmath]
Ovo sve skratim sa [inlmath]x![/inlmath] uz već navedene uslove, da ne ponavljam, nulom se deliti ne sme.
Posle svođenja na zajednički:
[dispmath]\frac{x-2+3}{(x-3)!(x-2)}=\frac{1}{2}(x+1)[/dispmath]
I dalje je (posle skraćivanja [inlmath]x+1[/inlmath] sa obe strane):
[inlmath](x-3)!=\frac{2}{x-2}[/inlmath]
Vidi se da je [inlmath]x=4[/inlmath]. Kako bi to sad dokazao?

Dobro, do rješenja se dolazi ipak jednim dijelom intuitivno. I ja sam tako nešto pokušavao naravno nisam dobio taj isti oblik ali imam izraz iz kojeg se može odrediti rješenje. Stvar koja me je mučila (kada ne bih znao da je [inlmath]x=4[/inlmath]), možda bi postojalo i više rješenja. Tako da mislim mora postojati neki način da se izrazi samo [inlmath]x[/inlmath] ili ima nekakva logika preko koje se to može zaključiti.

Evo i moje ideje:
[dispmath]\frac{x!}{\left(x-3\right)!}+3\frac{x!}{\left(x-2\right)!}=\frac{1}{2}\left(x+1\right)![/dispmath]
Pomnožimo obe strane NZS-om svih imenilaca, a to je [inlmath]2\left(x-2\right)![/inlmath] (da bi [inlmath]V^3_x[/inlmath] i [inlmath]V^2_x[/inlmath] bili definisani, jasno je da mora biti [inlmath]x\ge3[/inlmath] jer su u pitanju varijacije bez ponavljanja, što znači da [inlmath]x\notin\left\{0,1,2\right\}[/inlmath]).
[dispmath]2\frac{x!\left(x-2\right)!}{\left(x-3\right)!}+6x!=\left(x+1\right)!\left(x-2\right)![/dispmath][dispmath]2\frac{\cancel{x!}\left(x-2\right)\cancel{\left(x-3\right)!}}{\cancel{\left(x-3\right)!}}+6\cancel{x!}=\left(x+1\right)\cancel{x!}\left(x-2\right)![/dispmath][dispmath]2x-4+6=\left(x+1\right)\left(x-2\right)![/dispmath][dispmath]2x+2=\left(x+1\right)\left(x-2\right)![/dispmath][dispmath]2\cancel{\left(x+1\right)}=\cancel{\left(x+1\right)}\left(x-2\right)![/dispmath][dispmath]\left(x-2\right)!=2[/dispmath][dispmath]\left(x-2\right)\cancel!=2\cancel![/dispmath][dispmath]x-2=2[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{x=4}[/dispmath]

---

A ako si već krenuo malo drugačijim putem pa došao do koraka
[dispmath]2+\frac{6}{x-2}=\left(x+1\right)\left(x-3\right)![/dispmath]
može se i to rešiti, tako što obe strane pomnožiš sa [inlmath]\left(x-2\right)[/inlmath]:
[dispmath]2\left(x-2\right)+6=\left(x+1\right)\underbrace{\left(x-2\right)\left(x-3\right)!}_{\left(x-2\right)!}[/dispmath][dispmath]2x+2=\left(x+1\right)\left(x-2\right)![/dispmath][dispmath]2\cancel{\left(x+1\right)}=\cancel{\left(x+1\right)}\left(x-2\right)![/dispmath][dispmath]\left(x-2\right)!=2[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath]

Svaka čast
Znao sam da mora postojati neki fazon da se ovo uradi.

Evo i ja da dovršim svoju ideju:
[dispmath](x-3)!=\frac{2}{x-2}[/dispmath][dispmath](x-2)!=2[/dispmath][dispmath]x-2=2[/dispmath][dispmath]x=4[/dispmath]
Rešenje postoji i u domenu specijalnih funkcija, konkretno gama (ne Gamma ) funkcija može dati numerički rezultat ali ne u skupu prirodnih brojeva.

Desideri ako može još malo o tim specijalnim funkcijama, malo detaljnije

Gama funkcija je nesvojstveni integral, Ojlerova funkcija druge vrste, i data je sa:
[dispmath]\Gamma(p)=\int\limits_0^\infty x^{p-1}e^{-x}\mathrm dx\qquad p>0[/dispmath]
Više o tvojoj "imenjakinji" može se pročitati ovde.

Ako je [inlmath]p[/inlmath] prirodan broj tj. [inlmath]p=n[/inlmath] tada važi: [inlmath]\Gamma(n)=(n-1)![/inlmath]

Moglo bi se reći da je gama funkcija zapravo uopštavanje faktorijela, ili da je to "faktorijel" sa proširenim domenom. Ima takođe veliku primenu u teoriji verovatnoće, gde se neke neprekidne raspodele (Erlangova, hi-kvadrat, eksponencijalna) opisuju ili se mogu opisati preko gama funkcije.