MATEMANIJA

E ovako radi se o formuli za kombinacije s ponavljanjem. Pogledao sam ovu temu i objašnjenje je ok. Baš razumljivo je objašnjeno preko kuglica. I mogu reći da mi je to jasno. Ali evo naletih na još jedan način izvođenja formule. Ali nekako mi izgleda da je nepotpun. Mislim da je makar nešto preskočeno, veoma je sažeto. Pa me interesuje vaše mišljenje o njemu. Naravno, ovo izvođenje mi nije jasno. A izraz "pridružiti" ne mogu da rastumačim.

Neka je [inlmath]a_1a_2\ldots a_k[/inlmath] kombinacija s ponavljanjem klase [inlmath]k[/inlmath] od [inlmath]n[/inlmath] elemenata [inlmath]a_1,a_2,\ldots,a_n[/inlmath].Toj kombinacija s ponavljanjem možemo pridružiti sledeću kombinaciju bez ponavljanja [inlmath]a_1a_{2+1}a_{3+2},a_{4+3}\ldots a_{k+k-1}[/inlmath] elemenata [inlmath]a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots,a_{n+k-1}[/inlmath]. Na taj način vidimo da kombinaciji s ponavljanjem klase [inlmath]k[/inlmath] od [inlmath]n[/inlmath] elemenata odgovara kombinacija bez ponavljanja klase [inlmath]k[/inlmath] od [inlmath]n+k-1[/inlmath] elemenata.

Zna li ko šta o ovome? Ja još ništa nisam skontao

Nisam ni ja ništa skontao.
Kako Gamma ovo:
[inlmath]a_1a_{2+1}a_{3+2},a_{4+3}\ldots a_{k+k-1}[/inlmath]
kako indeks [inlmath]1[/inlmath] ispred [inlmath]a_3[/inlmath] a i kako ovo dalje, totalno si me zbunio .

@Gamma, podsetio bih te na tačku 16. Pravilnika.

Prosto mi je neverovatno da je ovo objašnjenje tako šturo napisano i da se čitaocu ostavlja da „gleda u pasulj“ šta predstavljaju te oznake.

Ali, ako već, kako i sâm kažeš, znaš jedan način izvođenja te formule, ne vidim u čemu je onda toliki problem što neki drugi način ne možeš da rastumačiš.

Dobro, jesam malo požurio. Ali objašnjenje je stvarno ovako napisano. Ništa nisam preskočio sigurno. Matematika za 4 razred Jovan D. Kečkić.

Pokažimo na primeru n = 3, k = 2 da formula važi.

Neka je skup S = {1, 2, 3} skup na kome zadajemo kombinacije sa ponavljanjem.

Sve kombinacije sa ponavljanjem 2-ge klase od 3 elementa su

(elemente smo poređali po rastućim vrednostima):

{1,1} {1,2} {1,3} {2,2} {2,3} {3,3}.

Tih kombinacija ima 6.

Definišimo preslikavanje koje će ovim podskupovima pridružiti podskupove

dobijene tako da prvom članu podskupa dodamo 0, a drugom članu 1.

{1,1} pridružujemo {1,2}

{1,2} pridružujemo {1,3}

{1,3} pridružujemo {1,4}

{2,2} pridružujemo {2,3}

{2,3} pridružujemo {2,4}

{3,3} pridružujemo {3,4}.

Slike su kombinacije bez ponavljanja 2-ge klase od 4-članog skupa {1,2,3,4}.

Preslikavanje je bijekcija izmedu skupa svih kombinacija sa ponavljanjem 2-klase

od 3 elementa i kombinacija 2-klase od 4 elementa. Budući da postoji bijekcija,

ti skupovi imaju jednake kardinalne brojeve (sadrže jednak broj elemenata),

pa važi da je broj kombinacija sa ponavljanjem 2-ge klase od 3 elementa jednak

broju kombinacija bez ponavljanja 2-ge klase od 4 elementa i iznosi 6.

Sledeći primer je n = 4, k = 3. Skup na kome zadajemo je S = {1, 2, 3, 4}.

Sve kombinacije sa ponavljanjem ova 4 elementa 3-će klase su:

1. {1, 1, 1}

2. {1, 1, 2}

3. {1, 1, 3}

4. {1, 1, 4}

5. {1, 2, 2}

6. {1, 2, 3}

7. {1, 2, 4}

8. {1, 3, 3}

9. {1, 3, 4}

10. {1, 4, 4}

11. {2, 2, 2}

12. {2, 2, 3}

13. {2, 2, 4}

14. {2, 3, 3}

15. {2, 3, 4}

16. {2, 4, 4}

17. {3, 3, 3}

18. {3, 3, 4}

19- {3, 4, 4}

20. {4, 4, 4}

Kao što možemo da vidimo iz priloženog imamo ih 20.

Definišemo preslikavanje koje navedenim podskupovima pridružuje

podskupove dobijene tako da prvom članu podskupa dodajemo 0,

drugom članu podskupa dodajemo 1, a trećem članu dodajemo 2.

Ovo preslikavanje je bijektivno preslikavanje.

{1, 1, 1} pridružujemo {1, 2, 3}

{1, 1, 2} pridružujemo {1, 2, 4}

{1, 1, 3} pridružujemo {1, 2, 5}

{1, 1, 4} pridružujemo {1, 2, 6}

{1, 2, 2} pridružujemo {1, 3, 4}

{1, 2, 3} pridružujemo {1, 3, 5}

{1, 2, 4} pridružujemo {1, 3, 6}

{1, 3, 3} pridružujemo {1, 4, 5}

{1, 3, 4} pridružujemo {1, 4, 6}

{1, 4, 4} pridružujemo {1, 5, 6}

{2, 2, 2} pridružujemo {2, 3, 4}

{2, 2, 3} pridružujemo {2, 3, 5}

{2, 2, 4} pridružujemo {2, 3, 6}

{2, 3, 3} pridružujemo {2, 4, 5}

{2, 3, 4} pridružujemo {2, 4, 6}

{2, 4, 4} pridružujemo {2, 5, 6}

{3, 3, 3} pridružujemo {3, 4, 5}

{3, 3, 4} pridružujemo {3, 4, 6}

{3, 4, 4} pridružujemo {3, 5, 6}

{4, 4, 4} pridružujemo {4, 5, 6}

Dobijene slike su kombinacije bez ponavljanja 3-će klase od 6 elemenata.

I to su sve moguće kombinacije bez ponavljanja 3-će klase od 6 elemenata.

Skup na kome su definisane je S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Broj kombinacija sa ponavljanjem 4 elementa 3-će klase je jednak

broju kombinacija bez ponaljanja 6 elemenata 3-će klase i

taj broj iznosi 20 (odnosno 6 nad 3).