andrijana_ je napisao:Znam sad za brojeve koji počinju nulom. Ono što sam napisala pomnožim sa kombinacijama bez ponavljanja od [inlmath]5[/inlmath] elemenata [inlmath]2.[/inlmath] klase. I posle samo oduzmem.
Tako je.
Možemo uočiti, čisto radi povezivanja svega ovoga, da bismo isto dobili i da smo, umesto sa [inlmath]C_5^2[/inlmath] (izbor [inlmath]2[/inlmath] od ukupno [inlmath]5[/inlmath] pozicija na koja idu [inlmath]2[/inlmath]
parne cifre) dobili i da smo množili sa [inlmath]C_5^3[/inlmath] (izbor [inlmath]3[/inlmath] od ukupno [inlmath]5[/inlmath] pozicija na koja idu [inlmath]3[/inlmath]
neparne cifre). Ovo je u skladu s osobinom binomnog koeficijenta da je [inlmath]{n\choose{n-k}}={n\choose k}[/inlmath], tj. u ovom slučaju
[dispmath]{5\choose2}=\frac{5!}{\left(5-2\right)!\cdot2!}=\frac{5!}{3!\cdot2!}=\frac{5!}{2!\cdot3!}=\frac{5!}{\left(5-3\right)!\cdot3!}={5\choose3}[/dispmath]
Takođe, isti rezultat dobijamo i ako, umesto sa [inlmath]C_5^2[/inlmath] ili [inlmath]C_5^3[/inlmath], množimo permutacijama s ponavljanjem [inlmath]\overline P_5^{3,2}[/inlmath] (budući da se na preostalih [inlmath]5[/inlmath] mesta parne cifre pojavljuju [inlmath]2[/inlmath] puta, a neparne [inlmath]3[/inlmath] puta):
[dispmath]\overline P_5^{3,2}=\frac{5!}{3!\cdot2!}\;\left(=C_5^2=C_5^3\right)[/dispmath]
Sinisa je napisao:po nekoj logici bi trebalo biti [inlmath]6!\cdot[/inlmath](kombinacije sa ponavljanjem klase [inlmath]3.[/inlmath] od [inlmath]5[/inlmath] elemenata)[inlmath]^2-5!\cdot[/inlmath](kombinacije sa ponavljanjem klase [inlmath]3.[/inlmath] od [inlmath]5[/inlmath] elemenata)[inlmath]^2[/inlmath]
Dakle, radio si kao [inlmath]P_6\cdot\overline C_5^3\cdot\overline C_5^3-P_5\cdot\overline C_5^3\cdot\overline C_5^3[/inlmath].
Postavljao si po [inlmath]3[/inlmath] parne i po [inlmath]3[/inlmath] neparne cifre, pri čemu njihov redosled nije bitan (kombinacije s ponavljanjem), da bi, zatim, to pomnožio permutacijama bez ponavljanja od [inlmath]6[/inlmath] elemenata, koliko ukupno imamo cifara. Ali, ne smemo množiti permutacijama
bez ponavljanja, jer se cifre koje smo prethodno izabrali mogu i ponavljati. Zbog toga je takav postupak pogrešan.
Međutim, modifikovanjem tvog postupka došli bismo do tačnog rezultata.
[inlmath]{\color{red}P_6}\cdot\overline C_5^3\cdot\overline C_5^3-{\color{red}P_5}\cdot\overline C_5^3\cdot\overline C_5^3[/inlmath]
Umesto permutacija
bez ponavljanja od [inlmath]6[/inlmath] odnosno [inlmath]5[/inlmath] elemenata, koristićemo permutacije
s ponavljanjem, [inlmath]\overline P_6^{3,3}[/inlmath], odnosno [inlmath]\overline P_5^{3,2}[/inlmath] (zbog čega baš njih, obrazložio sam ranije).
Zatim,
[inlmath]\overline P_6^{3,3}\cdot\overline{\color{red}C}_5^3\cdot\overline{\color{red}C}_5^3-\overline P_5^{3,2}\cdot\overline{\color{red}C}_5^3\cdot\overline{\color{red}C}_5^3[/inlmath]
Umesto
kombinacija s ponavljanjem, potrebno je da posmatramo
varijacije s ponavljanjem (bitan nam je međusobni redosled parnih, odnosno međusobni redosled neparnih cifara, u okviru svake od permutacija s ponavljanjem).
I, na kraju,
[inlmath]\overline P_6^{3,3}\cdot\overline V_5^3\cdot\overline V_5^3-\overline P_5^{3,2}\cdot\overline V_5^3\cdot\overline V_5^{\color{red}3}[/inlmath]
Ovo ti je verovatno bila greška – kad na prvom mestu imamo nulu, to je jedna iskorišćena parna cifra, prema tome, preostaju nam još [inlmath]3[/inlmath] neparne i [inlmath]\color{red}2[/inlmath] parne cifre. Prema tome, varijacije s ponavljanjem od [inlmath]5[/inlmath] elemenata [inlmath]3.[/inlmath] klase, pomnožene varijacijama s ponavljanjem od [inlmath]5[/inlmath] elemenata [inlmath]\color{red}2.[/inlmath] klase.
Uz prethodne korekcije, dolazimo do izraza
[dispmath]\overline P_6^{3,3}\cdot\overline V_5^3\cdot\overline V_5^3-\overline P_5^{3,2}\cdot\overline V_5^3\cdot\overline V_5^2[/dispmath]
koji, kad se izračuna, daje ispravan broj [inlmath]281\:250[/inlmath].
Pošto smo detaljno izanalizirali prethodni način rešavanja, pokazao bih sada još jedan način.
Budući da nam najviše muke stvara prvo mesto (zbog toga što se na njemu može naći nula, čime taj broj prestaje da bude šestocifren), posmatrajmo dva odvojena slučaja: kada se na prvom mestu nalazi neparna cifra, i kada se na prvom mestu nalazi parna cifra. Na kraju broj mogućnosti jednog i drugog slučaja saberemo.
[inlmath]I[/inlmath] slučaj: na prvom mestu neparna cifra
Na prvo mesto možemo staviti neku od [inlmath]5[/inlmath] neparnih cifara.
Od preostalih [inlmath]5[/inlmath] mesta, na [inlmath]2[/inlmath] mesta raspoređujemo neparne cifre i na [inlmath]3[/inlmath] mesta raspoređujemo parne cifre. Prema ranije opisanom postupku, to možemo učiniti na [inlmath]\overline V_5^2\cdot\overline V_5^3\cdot C_5^3[/inlmath] načina (ili na [inlmath]\overline V_5^2\cdot\overline V_5^3\cdot C_5^2[/inlmath], ili na [inlmath]\overline V_5^2\cdot\overline V_5^3\cdot\overline P_5^{3,2}[/inlmath] načina).
Dakle, broj mogućih rasporeda [inlmath]I[/inlmath] slučaja bio bi
[dispmath]5\cdot\overline V_5^2\cdot\overline V_5^3\cdot C_5^3[/dispmath]
[inlmath]II[/inlmath] slučaj: na prvom mestu parna cifra
Na prvo mesto možemo staviti neku od [inlmath]4[/inlmath] parne cifre, budući da nulu ne smemo odabrati.
Od preostalih [inlmath]5[/inlmath] mesta, na [inlmath]2[/inlmath] mesta raspoređujemo parne cifre i na [inlmath]3[/inlmath] mesta raspoređujemo neparne cifre. Isto kao i u [inlmath]I[/inlmath] slučaju, to možemo učiniti na [inlmath]\overline V_5^2\cdot\overline V_5^3\cdot C_5^3[/inlmath] načina (ili na [inlmath]\overline V_5^2\cdot\overline V_5^3\cdot C_5^2[/inlmath], ili na [inlmath]\overline V_5^2\cdot\overline V_5^3\cdot\overline P_5^{3,2}[/inlmath] načina).
Dakle, broj mogućih rasporeda [inlmath]II[/inlmath] slučaja bio bi
[dispmath]4\cdot\overline V_5^2\cdot\overline V_5^3\cdot C_5^3[/dispmath]
Konačan broj traženih šestocifrenih brojeva dobijamo tako što to saberemo:
[dispmath]5\cdot\overline V_5^2\cdot\overline V_5^3\cdot C_5^3+4\cdot\overline V_5^2\cdot\overline V_5^3\cdot C_5^3=\cdots=281\:250[/dispmath]
Poslato: Subota, 06. Jun 2015, 16:20
.