MATEMANIJA

Pozdrav, imam nedoumicu oko 16. zadatka sa probnog prijemnog za FON (radjenog 3.07.2014.). Zadatak glasi: U razvoju [inlmath]\left(\sqrt[5]7+\sqrt[7]5\right)[/inlmath] zbir svih binomnih koeficijenata je [inlmath]32^{403}[/inlmath]. Broj clanova koji su celi brojevi jednak je: ... Resenje je [inlmath]58[/inlmath] i znam kako da dodjem do njega. Jedino mi nije jasno zasto zasto se postavlja [inlmath]2^n[/inlmath] na samom pocetku zadatka?
[dispmath]2^n=32^{403}[/dispmath]

Zato što je suma (zbir) binomnih koeficijenata [inlmath]2^n[/inlmath]. Zapamtiš kao pravilo
[dispmath]{n\choose 0}+{n\choose 1}+{n\choose 2}+\cdots+{n\choose n}=2^n[/dispmath]

Aaa znaci zbog toga je tako, hvala ti puno. Preskocih tu formulu pri ucenju.

Imaš u ovom tutorijalu, između ostalog, i tu formulu, sa sve dokazom (koji je vrlo kratak).
Poglavlje „Osobine binomnog koeficijenta“, pa nađeš „Suma binomnih koeficijenata u razvoju binoma jednaka je [inlmath]2^n[/inlmath]“.
Savetujem ti da, kad si već tu, pogledaš i ostale osobine binomnog koeficijenta, kao i dokaze.

Pozdrav svima! Mene zanima kako se odredjuje broj clanova koji su celi brojevi?

Hajde da najpre i ovo pojasnim: Njutnova (Isaac Newton) binomna formula glasi:
[dispmath](A+B)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}A^kB^{n-k}[/dispmath]
Genijalni fizičar, ali isto tako i matematičar, prvi je ovo dokazao matematičkom indukcijom. Najjednostavnije oblike ove formule svi znaju:
[dispmath](A+B)^2=A^2+2AB+B^2[/dispmath][dispmath](A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3[/dispmath]
Binomna znači da ima dva ("bi" - binom) člana. Koji se dižu na [inlmath]n[/inlmath]-ti stepen. Mogu se dobiti (binomni koeficijenti) i iz Paskalovog trougla, no i oko toga je bilo reči na Matemaniji.
Molim vas da pogledate dokaz formule koju je postovala andrijana, tako se najbolje uči. Na to je već ukazao Daniel.

3tassa je napisao:Mene zanima kako se odredjuje broj clanova koji su celi brojevi?

Evo ovako:
[dispmath]2^n=32^{403}[/dispmath]
Odavde nađeš [inlmath]n[/inlmath]. Lako je naći.
Sada:
[dispmath]\left(\sqrt[5]7+\sqrt[7]5\right)[/dispmath]
I [inlmath]5[/inlmath] i [inlmath]7[/inlmath] su prosti brojevi. Njihov proizvod je, naravno, [inlmath]35[/inlmath].
Uzmi u obzir to da binomni razvoj sadrži [inlmath]n+1[/inlmath] članova.

desideri je napisao:Hajde da najpre i ovo pojasnim: Njutnova (Isaac Newton) binomna formula glasi:
[dispmath](A+B)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}A^kB^{n-k}[/dispmath]

Zar ne treba da eksponenti idu suprotno:
[dispmath](A+B)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}A^{n-k}B^k[/dispmath]

Svejedno je... [inlmath]A+B=B+A[/inlmath]

Ilija predlažem ti da pogledaš ovo.

Ilija, Sinisa, Gamma,
sva trojica ste u pravu.
Izvorno je Njutn dao onu formulu koju sam ja citirao, no sve je to isto, zavisi s koje strane se posmatra.
Recimo:
[dispmath](A+B)^2=A^2+2AB+B^2=B^2+2BA+A^2[/dispmath]
Najbitnije je tu da ima [inlmath]n+1[/inlmath] članova, tu se greši. Dakle, ovo je isto:
[dispmath](A+B)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}A^kB^{n-k}=\sum_{k=0}^n{n\choose k}A^{n-k}B^k[/dispmath]

Evo i ovako:
[dispmath]\left(A+B\right)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}A^{n-k}B^k\\
\left(B+A\right)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}B^{n-k}A^k=\sum_{k=0}^n{n\choose k}A^kB^{n-k}\\
\left(A+B\right)^n=\left(B+A\right)^n\quad\Rightarrow\quad\sum_{k=0}^n{n\choose k}A^{n-k}B^k=\sum_{k=0}^n{n\choose k}A^kB^{n-k}[/dispmath]

---

A evo i još jednog načina:
[dispmath]\sum_{k=0}^n{n\choose k}A^kB^{n-k}=\sum_{k=0}^n{n\choose n-k}A^kB^{n-k}=[/dispmath]
Smena:
[inlmath]n-k=l\\
k=n-l[/inlmath]
[dispmath]=\sum_{l=n}^0{n\choose l}A^{n-l}B^l=\sum_{l=0}^n{n\choose l}A^{n-l}B^l=[/dispmath]
Pošto same oznake mogu i da se zamene, [inlmath]l[/inlmath] zamenimo sa [inlmath]k[/inlmath],
[dispmath]=\sum_{k=0}^n{n\choose k}A^{n-k}B^k[/dispmath]

3tassa je napisao:Pozdrav svima! Mene zanima kako se odredjuje broj clanova koji su celi brojevi?

Tako što lepo prelistaš razne slične urađene zadatke, kojih je dosad bilo mnogo, i to baš u ovoj rubrici, „Kombinatorika“ – i ako ti nešto konkretno nije jasno, postaviš isto tako konkretno pitanje.