MATEMANIJA

Naći broj svih desetocifrenih brojeva sa različitim ciframa, od kojih je poslednja cifra deljiva sa [inlmath]3[/inlmath]?

Gledajući prethodna rešenja, došao sam da je broj svih 10tocifrenih brojeva sa različitim ciframa, bez nule na početku [inlmath]9\cdot9![/inlmath]

E sada logički, trebalo bi da je [inlmath]\frac{3}{10}[/inlmath] ovih brojeva deljivo sa [inlmath]3[/inlmath] tj [inlmath]\frac{27}{10}\cdot9![/inlmath] što nije tačno.

Ne mogu da provalim da li raditi sa sabiranjem ili oduyimanjem varijacija?

Ukoliko oduzmemo brojeve kod kojih poslednja cifra nije deljiva sa [inlmath]3[/inlmath], znaci imamo na kraju (za desetu cifru) [inlmath]7[/inlmath] mogucnosti,

Meni pada napamet nesto tipa [inlmath]3\cdot8![/inlmath] ali se nisam dovoljno udubljivao
Koje je tacno resenje?

Ne znam
[inlmath]A)\;5\cdot9![/inlmath] [inlmath]\quad D)\;4\cdot9![/inlmath] [inlmath]\quad E)\;25\cdot8![/inlmath] [inlmath]\quad C)\;33\cdot8![/inlmath] [inlmath]\quad B)\;5\cdot9^9[/inlmath] - manje verovatno

Ja sam mislio ovako:
Fiksiramo na poslednje mesto redom trojku, šesticu i devetku.
Za svako od ovih fiksiranja ima [inlmath]8\cdot8![/inlmath] mogućnosti, što daje rezultat [inlmath]24\cdot8![/inlmath]
Ali toga nema u ponuđenim odgovorima .

To sam i ja mislio ali sam pojeo jednu osmicu. jer ide [inlmath]8\cdot8\cdot7\cdots2\cdot1\cdot1[/inlmath]

Ako je poslednja cifra [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]6[/inlmath] ili [inlmath]9[/inlmath] onda je broj kombinacija [inlmath]3\cdot8\cdot8![/inlmath] ali ako je poslednja cifra [inlmath]0[/inlmath] broj kombinacija je [inlmath]9\cdot8![/inlmath]

Da li je nula deljiva sa [inlmath]3[/inlmath]?

Da napomenem, nikada nisam radio kombinatoriku u srednjoj pa ne znam da li je ovo tacno. Ja sam ovako razmisljao o zadatku:
1) Broj je deljiv sa tri ukoliko je zbir njegovih cifara deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]
2) Kada se na poslednje mesto postave brojevi [inlmath]3,6,9[/inlmath] koji su deljivi sa tri na preostalim mestima dolaze u obzir [inlmath]1,2,4,5,7,8[/inlmath] kada se to sabere dobije se [inlmath]27[/inlmath] a to je takodje deljivo sa [inlmath]3[/inlmath]. Tako da na poslednjem mestu imamo [inlmath]3[/inlmath] cifre koje dolaze u obzir.
3) Na prvom mestu mogu doci [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath], [inlmath]7[/inlmath] i [inlmath]8[/inlmath], dok na narednih sest moze doci i nula.
4) Za prvo mesto ostaje [inlmath]6[/inlmath] mogucnosti, za drugo isto [inlmath]6[/inlmath] (+ doda se [inlmath]0[/inlmath]) a za preostala mesta se broj mogucnosti smanji za [inlmath]1[/inlmath].
5) Sad ne znam sta da radim sa onim praznim mestima i ne znam da li je ovo dobar put do resenja.

desideri je napisao:Ja sam mislio ovako:
Fiksiramo na poslednje mesto redom trojku, šesticu i devetku.
Za svako od ovih fiksiranja ima [inlmath]8\cdot8![/inlmath] mogućnosti, što daje rezultat [inlmath]24\cdot8![/inlmath]
Ali toga nema u ponuđenim odgovorima .

Ovo je OK. Treba dodati nulu na kraju kada je zbir cifara [inlmath]30[/inlmath]. A zbir [inlmath]1+2+3+4+5+6+7+8+9+0[/inlmath] je [inlmath]45[/inlmath], znaci uvek deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. Ovo su znaci varijacije [inlmath]9.[/inlmath] klase sa [inlmath]9[/inlmath] elemenata tj [inlmath]9![/inlmath]

Resenje je znaci [inlmath]24\cdot8!+9\cdot8!=33\cdot8![/inlmath]

Hvala svima na pomoci

Mada u zadatku ne kaze da je broj deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], vec samo poslednja cifra deljiva sa [inlmath]3[/inlmath], verovatno su uzeli u obzir i [inlmath]0[/inlmath].