MATEMANIJA

Naći broj svih desetocifrenih brojeva sa različitim ciframa, od kojih je poslednja cifra deljiva sa [inlmath]3[/inlmath]?

Gledajući prethodna rešenja, došao sam da je broj svih 10tocifrenih brojeva sa različitim ciframa, bez nule na početku [inlmath]9\cdot9![/inlmath]

E sada logički, trebalo bi da je [inlmath]\frac{3}{10}[/inlmath] ovih brojeva deljivo sa [inlmath]3[/inlmath] tj [inlmath]\frac{27}{10}\cdot9![/inlmath] što nije tačno.

Ne mogu da provalim da li raditi sa sabiranjem ili oduyimanjem varijacija?

Ukoliko oduzmemo brojeve kod kojih poslednja cifra nije deljiva sa [inlmath]3[/inlmath], znaci imamo na kraju (za desetu cifru) [inlmath]7[/inlmath] mogucnosti,

Meni pada napamet nesto tipa [inlmath]3\cdot8![/inlmath] ali se nisam dovoljno udubljivao
Koje je tacno resenje?

Ne znam
[inlmath]A)\;5\cdot9![/inlmath] [inlmath]\quad D)\;4\cdot9![/inlmath] [inlmath]\quad E)\;25\cdot8![/inlmath] [inlmath]\quad C)\;33\cdot8![/inlmath] [inlmath]\quad B)\;5\cdot9^9[/inlmath] - manje verovatno

Ja sam mislio ovako:
Fiksiramo na poslednje mesto redom trojku, šesticu i devetku.
Za svako od ovih fiksiranja ima [inlmath]8\cdot8![/inlmath] mogućnosti, što daje rezultat [inlmath]24\cdot8![/inlmath]
Ali toga nema u ponuđenim odgovorima .

To sam i ja mislio ali sam pojeo jednu osmicu. jer ide [inlmath]8\cdot8\cdot7\cdots2\cdot1\cdot1[/inlmath]

Ako je poslednja cifra [inlmath]3[/inlmath], [inlmath]6[/inlmath] ili [inlmath]9[/inlmath] onda je broj kombinacija [inlmath]3\cdot8\cdot8![/inlmath] ali ako je poslednja cifra [inlmath]0[/inlmath] broj kombinacija je [inlmath]9\cdot8![/inlmath]

Da li je nula deljiva sa [inlmath]3[/inlmath]?

Da napomenem, nikada nisam radio kombinatoriku u srednjoj pa ne znam da li je ovo tacno. Ja sam ovako razmisljao o zadatku:
1) Broj je deljiv sa tri ukoliko je zbir njegovih cifara deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]
2) Kada se na poslednje mesto postave brojevi [inlmath]3,6,9[/inlmath] koji su deljivi sa tri na preostalim mestima dolaze u obzir [inlmath]1,2,4,5,7,8[/inlmath] kada se to sabere dobije se [inlmath]27[/inlmath] a to je takodje deljivo sa [inlmath]3[/inlmath]. Tako da na poslednjem mestu imamo [inlmath]3[/inlmath] cifre koje dolaze u obzir.
3) Na prvom mestu mogu doci [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]5[/inlmath], [inlmath]7[/inlmath] i [inlmath]8[/inlmath], dok na narednih sest moze doci i nula.
4) Za prvo mesto ostaje [inlmath]6[/inlmath] mogucnosti, za drugo isto [inlmath]6[/inlmath] (+ doda se [inlmath]0[/inlmath]) a za preostala mesta se broj mogucnosti smanji za [inlmath]1[/inlmath].
5) Sad ne znam sta da radim sa onim praznim mestima i ne znam da li je ovo dobar put do resenja.

desideri je napisao:Ja sam mislio ovako:
Fiksiramo na poslednje mesto redom trojku, šesticu i devetku.
Za svako od ovih fiksiranja ima [inlmath]8\cdot8![/inlmath] mogućnosti, što daje rezultat [inlmath]24\cdot8![/inlmath]
Ali toga nema u ponuđenim odgovorima .

Ovo je OK. Treba dodati nulu na kraju kada je zbir cifara [inlmath]30[/inlmath]. A zbir [inlmath]1+2+3+4+5+6+7+8+9+0[/inlmath] je [inlmath]45[/inlmath], znaci uvek deljiv sa [inlmath]3[/inlmath]. Ovo su znaci varijacije [inlmath]9.[/inlmath] klase sa [inlmath]9[/inlmath] elemenata tj [inlmath]9![/inlmath]

Resenje je znaci [inlmath]24\cdot8!+9\cdot8!=33\cdot8![/inlmath]

Hvala svima na pomoci

Mada u zadatku ne kaze da je broj deljiv sa [inlmath]3[/inlmath], vec samo poslednja cifra deljiva sa [inlmath]3[/inlmath], verovatno su uzeli u obzir i [inlmath]0[/inlmath].

Ja sam uradio zadatak na sledeci nacin:
[inlmath]4\cdot9!-3\cdot8![/inlmath] i to je rjesenje pod [inlmath]C[/inlmath] (izvuce se [inlmath]8![/inlmath] ispred zagrade i to se malo sredi...)

Prvo nadjemo permutacije prvih devet cifara ( na zadnjem mjestu mogu biti [inlmath]4[/inlmath] cifre) i oduzmemo one cifre koji pocinju sa nulom a to znaci da na zadnjem mjestu nece moci biti nula (na zadnjem mjestu mogu biti [inlmath]3[/inlmath] cifre)... inace nulu kada podjelimo sa bilo kojim br. dobije se nula, tako da je ona djeljiva i sa [inlmath]3[/inlmath]

e to, bravo, kaže da je poslednja cifra deljiva sa tri. To unosi zabunu.

sada sam video i Sinisin odgovor.
Ako je nula deljiva sa tri, onda imamo tačan odgovor.

Nedavno smo radili zadatak gdje smo nulu posmatrali kao paran br. , znaci da je djeljiva i sa [inlmath]3[/inlmath]

Evo to je ta tema. Za nulu sam siguran 100%.

@bbrasnjo, uz dobrodošlicu na forum, skrenuo bih ti pažnju i na, preglednosti radi, obavezno korišćenje Latexa na ovom forumu (a koje nalaže tačka 13. Pravilnika). Nije težak, a kompletno uputstvo imaš ovde. Korigovao sam ti post, sad je lepši i čitljiviji.

Što se zadatka tiče, može da se radi na još jedan način – razmatramo dva slučaja:

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: prva cifra nije deljiva sa [inlmath]3[/inlmath]

Na prvo mesto može doći neka od cifara [inlmath]\left\{1,2,4,5,7,8\right\}[/inlmath] (u ovom slučaju ne moramo voditi računa o nuli na prvom mestu, jer se ona, pošto je deljiva sa [inlmath]3[/inlmath], po uslovu ovog slučaja ionako ne može naći na prvom mestu). Ukupno [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti. Na poslednje mesto može doći neka od [inlmath]4[/inlmath] cifre deljive sa [inlmath]3[/inlmath] (nejedna od njih nije iskorišćena za prvo mesto). Na preostala mesta raspodeljujemo preostalih [inlmath]8[/inlmath] cifara ([inlmath]8![/inlmath] mogućnosti raspoređivanja).
Ukupno, [inlmath]6\cdot8!\cdot4[/inlmath].

[inlmath]II[/inlmath] slučaj: prva cifra je deljiva sa [inlmath]3[/inlmath]
Na prvo mesto može doći neka od cifara [inlmath]\left\{3,6,9\right\}[/inlmath]. Ukupno [inlmath]3[/inlmath] mogućnosti. Na poslednje mesto može doći neka od preostale [inlmath]3[/inlmath] cifre deljive sa [inlmath]3[/inlmath] (jedna je već iskorišćena za prvo mesto). Na preostala mesta raspodeljujemo preostalih [inlmath]8[/inlmath] cifara ([inlmath]8![/inlmath] mogućnosti raspoređivanja).
Ukupno, [inlmath]3\cdot8!\cdot3[/inlmath]

Saberemo brojeve mogućnosti ova dva slučaja,
[dispmath]6\cdot8!\cdot4+3\cdot8!\cdot3=\left(24+9\right)8!=\enclose{box}{33\cdot8!}[/dispmath]

Da dopunim i svoj način. (Pošto je nula deljiva sa svačim. To je meni bezveze, al' ajde slažem se:) .
Fiksiram na poslednje mesto [inlmath]3,6,9[/inlmath].
Kô što rekoh, to je [inlmath]24\cdot8![/inlmath]
Dodam fiksiranje nule na poslednje mesto:
[dispmath]24\cdot8!+9!=24\cdot8!+9\cdot8!=33\cdot8![/dispmath]
Ovo je po meni najjednostavnije i najjasnije.

To sam i ja kazao

Da, to je to.

desideri je napisao:(Pošto je nula deljiva sa svačim. To je meni bezveze, al' ajde slažem se:) .

A što ti je bezveze? Da li možeš [inlmath]0[/inlmath] bombona da raspodeliš na [inlmath]n[/inlmath] dece ([inlmath]n=1,2,3,\ldots[/inlmath]) tako da nijedna bombona ne ostane neraspodeljena?

Doduše – nije nula deljiva baš sa svačim. Nije deljiva – nulom.

Tačno, nikom ništa i nijedna bombona od nijedne postojeće nije neraspodeljena (uh!)

Daniel je napisao:Doduše – nije nula deljiva baš sa svačim. Nije deljiva – nulom.

Što nije?
Nula bombona se lako razdeli na nula dece
Šalim se naravno, no i tvoje pitanje je bilo retoričko...

Resenje se moze zapisati i u obliku : [inlmath]9\cdot9!-6\cdot8\cdot8!=33\cdot8![/inlmath]

Pretpostavljam da si ovako razmišljao – svih desetocifrenih brojeva (bez obzira na to da li im je poslednja cifra deljiva sa [inlmath]3[/inlmath] ili ne) ima [inlmath]9\cdot9![/inlmath] (za prvu cifru [inlmath]9[/inlmath] mogućnosti, jer ne sme biti nula, a za ostalih [inlmath]9[/inlmath] cifara [inlmath]9![/inlmath] mogućnosti).
Od tog broja oduzmemo broj onih šestocifrenih brojeva čija poslednja cifra nije deljiva sa [inlmath]3[/inlmath], a njih je [inlmath]6\cdot8\cdot8![/inlmath], jer ima [inlmath]6[/inlmath] mogućnosti za poslednju cifru, zatim [inlmath]8[/inlmath] mogućnosti za prvu cifru (jer ne sme biti nula i ne sme biti ona cifra koja je već postavljena na poslednje mesto) i još [inlmath]8![/inlmath] mogućnosti za ostale cifre.