MATEMANIJA

Pozdrav svim clanovima, muci me jedan zadatak sa binomima: U razvoju [inlmath](a+b)^n[/inlmath] binomni koeficijenti petog, sestog i sedmog clana cine rastucu aritmeticku progresiju. Binomni koeficijenti treceg clana datog razvoja je? Odgovor je [inlmath]91[/inlmath]
Prvo sam ovako postavio zadatak
[dispmath]{n\choose5}=\frac{{n\choose4}+{n\choose6}}{2}[/dispmath]
Ali posle ne mogu da dobijem nista normalno. Mozda nesto pogresno skratim, ne znam ni ja sam.

U razvoju imas [inlmath]n+1[/inlmath] clanova a ne [inlmath]n[/inlmath]... razmisli jos jednom sta se podrazumjeva po [inlmath]5.[/inlmath] clan jer se [inlmath]k[/inlmath] krece od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath]

Kuku meni, tek sad nemam pojma kako ovo da uradim.

Pisem preko telefona pa se nadam da ces shvatiti...
Kod petog clana [inlmath]n=4[/inlmath]
Napravi jednacinu kakvu si napravio i prvi put samo to ispravi, nakon toga sve podijeli sa [inlmath]n(n-1)(n-2)[/inlmath] i dobices kvadratnu jednacinu koju trebas rjesiti...

Hvala ti, sad cu da se bacim na resavanje.

Ako negdje nisam napravio gresku u racunu, trebao bi dobiti kvadratnu jednacinu cija rjesenja ce biti [inlmath]n=14[/inlmath] i [inlmath]n=7[/inlmath]

Muci me ovo, bas me muci. I taman dobijem ceo broj i ubacim u formulu za treci clan i naravno nije dobro.

Kako? [inlmath]n=14\quad k=2\quad\frac{14\cdot13}{2}=91[/inlmath]

Ma to sto si ti uradio jeste dobro. Nego ja ne mogu da dodjem do toga.

Ajde napisi svoj postupak pa da nadjemo gresku...

Ne snalazim se bas najbolje sa LaTeX-om kad trebam ove binomne koeficijente da napisem u razlomku. A upravo sam nasao gresku, jeej.

Anonimo je napisao:Prvo sam ovako postavio zadatak
[dispmath]{n\choose5}=\frac{{n\choose4}+{n\choose6}}{2}[/dispmath]

Postavka je dobra. Dobije se kvadratna [inlmath]n^2-21n+98=0[/inlmath] i [inlmath]n_1=7,\;n_2=14[/inlmath], gde [inlmath]n_1=7[/inlmath] otpada jer cini opadajuci niz. Stoga je [inlmath]{14\choose2}=91[/inlmath].

E sad kad ispravim to mi ispadne, hvala vam obojici.

Evo i postupak :
[dispmath]{n\choose5}=\frac{{n\choose4}+{n\choose6}}{2}[/dispmath][dispmath]\frac{n!}{\left(n-5\right)!\cdot5!}=\frac{\frac{n!}{\left(n-4\right)!\cdot4!}+\frac{n!}{\left(n-6\right)!\cdot6!}}{2}[/dispmath][dispmath]\left.2\cdot\frac{n!}{\left(n-5)(n-6\right)!\cdot5\cdot4!}=\frac{n!}{\left(n-4)(n-5)(n-6\right)!\cdot4!}+\frac{n!}{\left(n-6\right)!\cdot6\cdot5\cdot4!}\quad\right/\cdot4!(n-6)![/dispmath][dispmath]\frac{2}{(n-5)\cdot5}=\frac{1}{(n-4)(n-5)}+\frac{1}{30}[/dispmath][dispmath]\frac{2}{\cancel{(n-5)}\cdot\cancel5}=\frac{30+(n-4)\cdot(n-5)}{^6\cancel{30}\cdot(n-4)\cdot\cancel{(n-5)}}[/dispmath][dispmath]12\cdot(n-4)=30+(n-4)(n-5)[/dispmath][dispmath]12n-48=30+n^2-9n+20[/dispmath][dispmath]n^2-21n+98=0[/dispmath][dispmath]n_{1,2}=\frac{21\pm\sqrt{441-392}}{2}[/dispmath][dispmath]n_{1,2}=\frac{21\pm7}{2}[/dispmath][dispmath]n=14[/dispmath][dispmath]C{14\choose2}=\frac{14!}{2!\cdot12!}=\frac{^7\cancel{14}\cdot13\cdot\cancel{12!}}{\cancel{2!}\cdot\cancel{12!}}=\enclose{box}{91}[/dispmath]

@Anonimo,
pre svega thanks za postupak i za trud
Želeo sam da pokažem i drugi način, možda nešto kraći od tvog postupka, no stvar je ukusa šta izabrati. Evo ovako:
[dispmath]{n\choose5}=\frac{{n\choose4}+{n\choose6}}{2}[/dispmath]
[dispmath]2\cdot\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5!}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{6!}[/dispmath]
Množenjem obe strane sa [inlmath]6![/inlmath] i deljenjem obe strane sa [inlmath]n(n-1)(n-2)(n-3)[/inlmath] dobijam:
[dispmath]12(n-4)=30+(n-4)(n-5)[/dispmath][dispmath]n^2-21n+98=0[/dispmath]
Što si uostalom i ti dobio

Da, tvoj nacin je malo brzi. Hvala Desideri.