MATEMANIJA

Broj svih permutacija slova reci [inlmath]BEOGRAD[/inlmath] u kojima slova [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]G[/inlmath] nisu ni na prvom ni na poslednjem mestu je?
U principu imam problem sa ovakvim zadacima,nemam neki ustaljen i siguran nacin vec probam da raspisem sve pa vidim koja je pravilnost tj ponavljenje pa izracunam.Sad mi ne treba samo resenje vec i objasnjenje kako radite ovo na najlaksi nacin?
Moje resenje je [inlmath]5\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot4=2400[/inlmath] ima ponudjeno ali ne znam da li sam u pravu?
ostala resenja ponudjena su [inlmath]240,1440,1200,480[/inlmath]

Dobro ti je rešenje.

Radio si, pretpostavljam, po principu da na prvo i poslednje mesto postaviš neka od slova koja nisu [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]G[/inlmath], a kojih ima ukupno [inlmath]5[/inlmath], pa je broj načina na koji to možeš učiniti jednak broju varijacija bez ponavljanja od [inlmath]5[/inlmath] elemenata [inlmath]2.[/inlmath] klase (jer imamo dva mesta – prvo i poslednje – i bitno je na koje mesto stavljamo koje slovo) – dakle, [inlmath]V_5^2[/inlmath].

Zatim preostalih [inlmath]5[/inlmath] slova (među kojima mogu biti i [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]G[/inlmath], ali ne mogu biti ona dva slova što su već postavljena na prvo i poslednje mesto) raspoređuješ na preostalih [inlmath]5[/inlmath] mesta, a to su permutacije bez ponavljanja od [inlmath]5[/inlmath] elemenata, [inlmath]P_5[/inlmath].

Znači, rešenje je [inlmath]V_5^2\cdot P_5=2400[/inlmath].

---

Drugi (komplikovaniji!) način bio bi preko formule uključivanja i isključivanja. Nađemo broj svih permutacija, pa i onih u kojima se [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]G[/inlmath] mogu nalaziti na prvom i poslednjem mestu (ukupan broj permutacija je [inlmath]7![/inlmath]), pa od njega zatim oduzmemo broj slučajeva u kojima je [inlmath]B[/inlmath] na prvom, [inlmath]B[/inlmath] na poslednjem, [inlmath]G[/inlmath] na prvom i [inlmath]G[/inlmath] na poslednjem mestu.

Broj slučajeva kada je [inlmath]B[/inlmath] na prvom mestu iznosi [inlmath]6![/inlmath], a broj slučajeva kada je [inlmath]G[/inlmath] na poslednjem mestu iznosi takođe [inlmath]6![/inlmath]. Međutim, brojeve ovih slučajeva ne smemo tek tako sabrati, jer bismo onda dvaput računali svaki od slučajeva kada je istovremeno [inlmath]B[/inlmath] na prvom i [inlmath]G[/inlmath] na poslednjem mestu. Zbog toga, da bismo našli broj slučajeva kada je [inlmath]B[/inlmath] na prvom ili [inlmath]G[/inlmath] na poslednjem mestu, moramo prvo sabrati [inlmath]6![/inlmath] i [inlmath]6![/inlmath], a zatim od toga oduzeti broj slučajeva kada su istovremeno [inlmath]B[/inlmath] na prvom i [inlmath]G[/inlmath] na poslednjem mestu, a broj tih slučajeva je [inlmath]5![/inlmath]. Znači, [inlmath]6!+6!-5![/inlmath].

Potpuno analogno i za broj slučajeva kada je [inlmath]B[/inlmath] na poslednjem ili [inlmath]G[/inlmath] na prvom mestu – takođe se dobije [inlmath]6!+6!-5![/inlmath].

Znači, konačan rezultat bi bio
[dispmath]7!-\left(6!+6!-5!\right)-\left(6!+6!-5!\right)=5!\left(7\cdot6-6-6+1-6-6+1\right)=120\cdot20=2400[/dispmath]

Hvala Daniele,upravo tako sam i radio!