MATEMANIJA

U razvoju [inlmath]\left(1-\sqrt[5]2\right)^n[/inlmath] zbir svih binomnih koeficijenata je [inlmath]2048[/inlmath]. Broj clanova u tom razvoju koji nisu celi brojevi:

Resenje: [inlmath]9[/inlmath].

Dobijem ja da je [inlmath]n=11[/inlmath], odnosno da ima dvanaest clanova u razvoju. Ono sto je problem je da dobijem dva clana koja su celi brojevi, a ne tri.
[dispmath]\sum_{k=0}^n{11\choose k}\;1^{11-k}\;(-2)^{\frac{k}{5}}[/dispmath]

Čekaj, je l' rešenje [inlmath]3[/inlmath] ili [inlmath]9[/inlmath]?

Trebalo bi da je [inlmath]3[/inlmath] – za [inlmath]k=0[/inlmath], [inlmath]k=5[/inlmath] i [inlmath]k=10[/inlmath] dobijaju se celi brojevi.

U zadatku se trazi broj clanova koji nisu celi brojevi, te je tacno resenje [inlmath]9[/inlmath].

Ja sam napisao da sam odredio da je broj clanova koji jesu celi brojevi dva, a ne tri (kako bi trebalo).

Ali, eto sad videh da sam totalno zaboravio da uzmem i [inlmath]k=0[/inlmath]. Hvala na odgovoru.

Da, pogrešno pročitah. Učinilo mi se da se traži broj celobrojnih članova.

Upravo sad sam pokušao da uradim taj zadatak i pogrešio sam, ali mi nije jasno zbog čega. Uslov zadatka je da [inlmath]n[/inlmath] pripada skupu prirodnih brojeva, što znači da [inlmath]n[/inlmath] ne ide od [inlmath]0[/inlmath] nego od [inlmath]1[/inlmath] pa do [inlmath]11[/inlmath].
Dobijem da celih brojeva ima [inlmath]3[/inlmath]. Zbog čega onda broj članova koji nisu celi brojevi nije [inlmath]11-3=8[/inlmath]?

Broj clanova je uvek [inlmath]n+1[/inlmath] sto bi znacilo [inlmath]11+1[/inlmath]... tada se dobija dobro resenje.

To npr nije važilo za svaki slučaj;
Uzmi kao primer zadatak sa fona 2015:

Zbir binomnih koeficijenata drugog od početka i drugog od kraja člana razvoja binoma [inlmath]\left(\sqrt[5]5+\sqrt[3]3\right)^n[/inlmath], [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath], je [inlmath]4030[/inlmath]. Broj iracionalnih članova u tom razvoju je;
[inlmath]1881[/inlmath]

Dobija se da je [inlmath]n=2015[/inlmath] i dobijamo da racionalnih članova ima [inlmath]134[/inlmath] što znači da iracionalnih [inlmath]2015-134=1881[/inlmath]. Nisam tu koristio osobinu [inlmath]n+1[/inlmath] pa da bude [inlmath]2016[/inlmath] baš zbog uslova da [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath]

Radeći taj zadatak koji si sada naveo dobijam kao broj iracionalnih: [inlmath]2016[/inlmath] (ukupan broj) [inlmath]-135[/inlmath] (racionalnih) [inlmath]=1881[/inlmath] (iracionalan). Nisam siguran da li je sasvim ispravno, ali ne bi trebalo da sam pogresio pri sredjivanju aritmetickog niza.

Sad sam pogledao još jednom moj način rada i izgleda da sam pogrešio, jer sam zaboravio da uvrstim vrednost za [inlmath]k=0[/inlmath], tvoje je dobro i usput da ti se zahvalim što si me naveo da ispravim potencijalnu grešku na prijemnom.
Ali, opet ne kontam čemu onda služi taj uslov za [inlmath]n[/inlmath], jer sam viđao na internetu da oduzimaju od [inlmath]2015[/inlmath] i opet dobiju tačan rezultat (ali dobiju da ima [inlmath]134[/inlmath] racionalna člana, što je pogrešno). Svakako je bolje da taj deo prepustim boljima od sebe.