MATEMANIJA

Pozdrav.
U prilozenoj slici je dokaz binomne formule preko matematicke indukcije.
Shvatam prva dva koraka, vrlo su jasna. Ne razumijem po kom principu se [inlmath]k[/inlmath] oduzelo u koeficijentu a ovamo i [inlmath]n[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] povecalo za jedan. (crveno)
Razumijem kako su se sabrala ove dve sume ali opet ne razumijem otkud ova dva clana (plavo) iz kojeg su clana izvedena? Predpostavljam da su izasla iz "crvenog" od [inlmath]n+1[/inlmath] ?
Ostatak dokaza mi je jasan. Uocili smo identitet i dokazali binomnu formulu. Ovo su vjerovatno banalne stvari ali u srednjoj skoli smo preletili binomnu formulu, tako da mi je dosta stvari ostalo nejasno.
Hvala unaprijed.
[dispmath]\begin{array}{ll}
\displaystyle\left(a+b\right)^{n+1}\!\!\! & \displaystyle=\left[\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k}\right]\left(a+b\right)\\
& \displaystyle=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^{k+1}b^{n-k}+\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k+1}\\
& \displaystyle\!{\color{red}\enclose{box}{\color{black}=\sum_{k=1}^{n+1}{n\choose k-1}a^kb^{n-\left(k-1\right)}}}+\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k+1}\\
& \displaystyle\!{\color{blue}\enclose{box}{\color{black}={n\choose n}a^{n+1}b^0}}+\sum_{k=1}^n{n\choose k-1}a^kb^{n-k+1}+\sum_{k=1}^n{n\choose k}a^kb^{n-k+1}{\color{blue}\enclose{box}{\color{black}+{n\choose 0}a^0b^{n+1}}}\\
& \displaystyle={n\choose n}a^{n+1}b^0+\sum_{k=1}^n\left[{n\choose k-1}+{n\choose k}\right]a^kb^{n-k+1}+{n\choose0}a^0b^{n+1}\\
& \displaystyle={n+1\choose n+1}a^{n+1}b^0+\sum_{k=1}^n{n+1\choose k}a^kb^{n+1-k}+{n+1\choose0}a^0b^{n+1}\\
& \displaystyle=\sum_{k=0}^{n+1}{n+1\choose k}a^kb^{n+1-k}.
\end{array}[/dispmath]

Moja primedba glasi:
Zašto slika kada je ovo u Latexu kucano pa kopirano kao slika? (Neka me kolege iz moderatorskog tima isprave ako grešim).
Naime, zašto ovo nije nakucano u Latexu?
To je pitanje za tebe, @techn0.
p.s. Dokaz binomne formule preko matematičke indukcije mi je jedan od omiljenih. Odgovoriću naravno, nego hajde nakucaj u Latexu.
Pa da nastavimo.

Nisam htio kucati.
Prekucao sam sada i ne mogu postaviti na forum, izbaci mi gresku "Undefined control sequence /binom", kod je ispravan u ovom LaTeX editoru https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php i ovom http://www.sciweavers.org/free-online-l ... ion-editor

Nadam se da ces moci iskoristiti ovaj moj kod.
Hvala na odgovoru.


EVO KODA:

(a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^n=
a\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k+b\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k=
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+a}b^k+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}=
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k+a}b^k+\sum_{k=1}^{n+a}\binom{n}{k-1}a^{n-k+1}b^k=
\binom{n}{0}a^{n+1}b^0 +\sum_{k=1}^{n}\left [ \binom{n}{k}+\binom{n}{k-1} \right ]a^{n-k+1}b^k + \binom{n}{n}a^0b^{n+1}=
\binom{n+1}{n+1}a^{n+1}b^0+\sum_{k=1}^{n}\binom{n+1}{k}a^{k}b^{n+1-k}+\binom{n+1}{0}a^0b^{n+1}=
\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n}{k}a^{k}b^{n+1-k}

Bilo je sasvim dovoljno da baciš pogled na Latex-uputstvo, u kome lepo piše koji je kôd na ovom forumu podržan za pisanje binomnih koeficijenata:

Daniel je napisao:Binomni koeficijent se postiže komandom \choose
n\choose k – rezultat je [dispmath]n\choose k[/dispmath]
Ova komanda se ponaša slično komandi \over u smislu svojih argumenata – i ona pod argumentima podrazumeva sve što je levo ili desno od same komande, do prve vitičaste zagrade ukoliko postoji.
n+1\choose k-2 – rezultat je [dispmath]n+1\choose k-2[/dispmath]

Dakle, ne \binom{n}{k}, već {n\choose k}. Ne \binom{n+1}{n+1}, već {n+1\choose n+1}.

Ajd sad ispravi to, uokviri equation-tagovima, pa da krenemo na posao...

[dispmath](a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^n=\\
=a\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k}+b\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k}=\\
=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^{k+1}b^{n-k}+\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k+1}=\\
=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k+1}+\sum_{k=1}^{n+1}{n\choose k-1}a^kb^{n-(k-1)}=\\
={n\choose0}a^{n+1}b^0+\sum_{k=1}^n{n\choose k-1}a^kb^{n-k+1}+\sum_{k=1}^n{n\choose k}a^kb^{n-k+1}+{n\choose n}a^0b^{n+1}=\\
={n+1\choose n+1}a^{n+1}b^0+\sum_{k=1}^n\left[{n\choose k-1}+{n\choose k}\right]a^kb^{n+1-k}+{n+1\choose0}a^0b^{n+1}=\\
=\sum_{k=0}^{n+1}{n+1\choose k}a^kb^{n+1-k}[/dispmath]

Sad je OK. Onda, koliko sam razumeo, dovde ti je jasno:

techn0 je napisao:[dispmath](a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^n=\\
=a\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k}+b\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k}=\\
=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^{k+1}b^{n-k}+\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k+1}=[/dispmath]

ali te buni ovaj korak:

techn0 je napisao:[dispmath]=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^{k+1}b^{n-k}+\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k+1}=\\
=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k+1}+\sum_{k=1}^{n+1}{n\choose k-1}a^kb^{n-(k-1)}=[/dispmath]

Prvi sabirak u donjem redu zapravo je prepisan drugi sabirak iz gornjeg reda. Znači, treba objasniti kako je od prvog sabirka iz gornjeg reda nastao drugi sabirak u donjem redu.
Imamo, dakle, sumu [inlmath]\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{k+1}b^{n-k}[/inlmath]. Uvedemo smenu [inlmath]k+1=l[/inlmath]. Odatle je i [inlmath]k=l-1[/inlmath]. Prema tome,
[dispmath]\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^{k+1}b^{n-k}=\sum_{l=1}^{n+1}{n\choose l-1}a^lb^{n-\left(l-1\right)}=[/dispmath]
Pošto nije bitno kojim ćemo slovom označiti koju vrednost, sad možemo svuda umesto [inlmath]l[/inlmath] opet pisati [inlmath]k[/inlmath]:
[dispmath]=\sum_{k=1}^{n+1}{n\choose k-1}a^kb^{n-\left(k-1\right)}[/dispmath]
čime smo upravo i dobili taj drugi sabirak iz narednog reda.

Zatim te buni korak

techn0 je napisao:[dispmath]=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k+1}+\sum_{k=1}^{n+1}{n\choose k-1}a^kb^{n-(k-1)}=\\
={n\choose0}a^{n+1}b^0+\sum_{k=1}^n{n\choose k-1}a^kb^{n-k+1}+\sum_{k=1}^n{n\choose k}a^kb^{n-k+1}+{n\choose n}a^0b^{n+1}=[/dispmath]

Pošto sad treba sabrati dve sume, od kojih jedna ide od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath], a druga ide od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]n+1[/inlmath], potrebno je da ih svedemo na iste granice sumiranja. To znači, iz prve sume (ove koja ide od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath]) da izdvojimo sabirak za [inlmath]k=0[/inlmath], kako bi ostatak sume išao od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath], a iz druge sume (ove koja ide od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]n+1[/inlmath]) da izdvojimo sabirak za [inlmath]k=n+1[/inlmath], kako bi ostatak sume, takođe, kao i prva, išao od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]n[/inlmath]. Tada ćemo ih moći sabrati. Dakle, pokazaću za svaku od ove dve sume posebno. Ova prva:
[dispmath]\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k+1}=\underbrace{\sum_{k=0}^0{n\choose k}a^kb^{n-k+1}}_{\text{suma sa samo jednim sabirkom}}+\sum_{k=1}^n{n\choose k}a^kb^{n-k+1}=\\
={n\choose0}a^0b^{n-0+1}+\sum_{k=1}^n{n\choose k}a^kb^{n-k+1}=\\
={n\choose0}a^0b^{n+1}+\sum_{k=1}^n{n\choose k}a^kb^{n-k+1}[/dispmath]
i druga suma,
[dispmath]\sum_{k=1}^{n+1}{n\choose k-1}a^kb^{n-(k-1)}=\sum_{k=1}^n{n\choose k-1}a^kb^{n-\left(k-1\right)}+\underbrace{\sum_{k=n+1}^{n+1}{n\choose k-1}a^kb^{n-\left(k-1\right)}}_{\text{suma sa samo jednim sabirkom}}=\\
=\sum_{k=1}^n{n\choose k-1}a^kb^{n-\left(k-1\right)}+{n\choose n+\cancel1-\cancel1}a^{n+1}b^{n-\left(n+\cancel1-\cancel1\right)}=\\
=\sum_{k=1}^n{n\choose k-1}a^kb^{n-k+1}+{n\choose n}a^{n+1}b^{n-n}=\\
=\sum_{k=1}^n{n\choose k-1}a^kb^{n-k+1}+{n\choose n}a^{n+1}b^0[/dispmath]
E sad, kod tebe je u postupku malo zbrljan redosled tih sabiraka, a i pisao si [inlmath]n\choose0[/inlmath] umesto [inlmath]n\choose n[/inlmath] i obratno, mada to u krajnjem rezultatu dođe na isto pošto je [inlmath]{n\choose0}={n\choose n}=1[/inlmath].

Ostatak postupka ti je, pretpostavljam, jasan.

Hvala mnogo!
Sad je sve jasno!

Posto se ipak nalazimo u potforumu Kombinatorika, to bi onda bilo red da damo i kombinatorni dokaz (koji je ovde dosta kraci, ali se redje spominje). Naime, posmatrajmo
[dispmath](a+b)^n=\underbrace{(a+b)\cdots(a+b)}_n.[/dispmath] Primenom distributivnog zakona dobijamo zbir od [inlmath]2^n[/inlmath] proizvoda oblika [inlmath]c_1\cdot c_2\cdots c_n[/inlmath], gde se svaki [inlmath]c_j[/inlmath] dobija izborom iz skupa [inlmath]\{a, b\}[/inlmath] u [inlmath]j[/inlmath]-tom faktoru proizvoda. Takodje, proizvode [inlmath]c_1\cdot c_2\cdots c_n[/inlmath] mozemo posmatrati kao reči nad dvoclanim skupom, pa proizvoda [inlmath]c_1\cdot c_2\cdots c_n[/inlmath] koji se svode na [inlmath]a^kb^{n-k}[/inlmath] ima upravo [inlmath]\displaystyle {n\choose k}[/inlmath], odakle dobijamo samo tvrdjenje.

Koga zanima veza između binomne formule i kombinacija bez ponavljanja, može pogledati i ovaj moj post, u kojem sam to dosta opširnije (možda i preterano opširno?) pokazao. A nije zgoreg pogledati i celu tu temu.