MATEMANIJA

Zbir binomnih koeficijenata prva tri clana u razvoju [inlmath]\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt x\right)^n[/inlmath] jednak je [inlmath]46[/inlmath]. Clan tog razvoja oblika [inlmath]ax^4[/inlmath] je:

Ja sam probao zadatak da uradim ali ovo je oblast koju jos nismo radili pa nemam iskustva ni nekog posebnog znanja.
[dispmath]\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt x\right)^n\\
{n\choose0}+{n\choose1}+{n\choose2}=46\\
n^2+n-90=0\\
n=9\\
\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt x\right)^9=\left(x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{2}}\right)^9\\
\left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k}\\
\Rightarrow\;\left(x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{2}}\right)^9=\sum_{k=0}^9{9\choose k}a^kb^{9 - k}[/dispmath]
Sad ne razumem kako da dobijem taj clan oblika [inlmath]ax^4[/inlmath], pokusavao sam na neku foru da dobijem [inlmath]k[/inlmath]
[dispmath]ax^4\;\Rightarrow\;x^4=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{9-k}\;\Rightarrow\;k=1[/dispmath]

Dobijam ovako napamet i intuitivno da je [inlmath]n=9[/inlmath] i [inlmath]k=3[/inlmath].
Rekao bih da je to - to. No proveri ti ovo. Postovaću detaljnije.
P.S. Rekao bih da ti je tačno [inlmath]n=9[/inlmath].

Herien Wolf je napisao:[dispmath]\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt x\right)^9=\left(x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{2}}\right)^9\\
\left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k}[/dispmath]

Dobro si krenuo, sad samo u ovu drugu formulu uvrstiš [inlmath]a=x^{\frac{1}{3}}[/inlmath], [inlmath]b=x^{\frac{1}{2}}[/inlmath] i [inlmath]n=9[/inlmath]:
[dispmath]\left(x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{2}}\right)^9=\sum_{k=0}^9{9\choose k}\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^k\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{9-k}=\sum_{k=0}^9{9\choose k}x^{\frac{k}{3}}x^{\frac{9-k}{2}}=\sum_{k=0}^9{9\choose k}x^{\frac{27-k}{6}}[/dispmath]

Inače, kad se govori o rednom broju člana u razvoju, misli se na razvoj po formuli
[dispmath]\left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/dispmath]
(obrati pažnju na drugačije eksponente kod [inlmath]a[/inlmath] i kod [inlmath]b[/inlmath] u odnosu na formulu koju si ti napisao).

I kod jedne i kod druge formule jednakost je zadovoljena, ali se na nekoj određenoj poziciji dobiju drugačiji članovi razvoja. Konkretno, primenom tvoje formule, kub zbira bi bio
[dispmath]\left(a+b\right)^3=b^3+3ab^2+3a^2b+a^3[/dispmath]
a primenom ove koju sam ja napisao,
[dispmath]\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/dispmath]
na kakvu smo i navikli.
Naravno, tačne su i jedna i druga jednakost, samo je raspored sabiraka drugačiji.
Međutim, da se traži, recimo, drugi član razvoja, ispravan odgovor bi bio [inlmath]3a^2b[/inlmath], dok bi se primenom tvoje formule kao drugi član razvoja pogrešno dobio [inlmath]3ab^2[/inlmath].

U ovom konkretnom zadatku nema značaja koju ćeš od te dve formule koristiti, jer ovako dobiješ [inlmath]{9\choose3}x^4[/inlmath], a primenom uobičajene formule dobio bi [inlmath]{9\choose6}x^4[/inlmath], ali to je isto zbog pravila [inlmath]{n\choose n-k}={n\choose k}[/inlmath]. Međutim, biće zadataka s razvojem u kojima bi primenom formule [inlmath]\left(a+b\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^kb^{n-k}[/inlmath] dobio pogrešan rezultat.

Daniel je napisao:Dobro si krenuo, sad samo u ovu drugu formulu uvrstiš [inlmath]a=x^{\frac{1}{3}}[/inlmath], [inlmath]b=x^{\frac{1}{2}}[/inlmath] i [inlmath]n=9[/inlmath]:
[dispmath]\left(x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{2}}\right)^9=\sum_{k=0}^9{9\choose k}\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^k\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{9-k}=\sum_{k=0}^9{9\choose k}x^{\frac{k}{3}}x^{\frac{9-k}{2}}=\sum_{k=0}^9{9\choose k}x^{\frac{27-k}{6}}[/dispmath]

Sad sam razumeo
[dispmath]\Rightarrow\;\left(x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{2}}\right)^9=\sum_{k=0}^9{9\choose k}x^{\frac{k}{3}}x^{\frac{9-k}{2}}=\sum_{k=0}^9{9\choose k}x^{\frac{27-k}{6}}\;\Rightarrow\;x^4=x^{\frac{27-k}{6}}\;\Rightarrow\;k=3\\
{9\choose3}x^4=\frac{9!}{3!\left(9-3\right)!}x^4=84x^4[/dispmath]
Rekao bih da sam ispravno dovrsio. Najvise me je bunila postavka gde se trazi [inlmath]ax^4[/inlmath], a imam formulu [inlmath]\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n - k}b^k[/inlmath] a ne radi se o istom [inlmath]a[/inlmath]

Ispravan ti je postupak, kao i rešenje.

A evo i postupka primenom te uobičajene formule, [inlmath]\left(a+b\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath]:
[dispmath]\left(x^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{2}}\right)^9=\sum_{k=0}^9{9\choose k}\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{9-k}\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^k=\sum_{k=0}^9{9\choose k}x^{\frac{9-k}{3}}x^{\frac{k}{2}}=\sum_{k=0}^9{9\choose k}x^{\frac{k+18}{6}}[/dispmath][dispmath]\frac{k+18}{6}=4\;\Rightarrow\;k=6[/dispmath]
Prema tome, traženi član je
[dispmath]{9\choose6}x^4={9\choose9-6}x^4={9\choose3}x^4=\frac{\cancel9^3\cdot\cancel8^4\cdot7}{\cancel3\cdot\cancel2}x^4=3\cdot4\cdot7x^4=84x^4[/dispmath]
Znači, primenom „tvoje“ formule dobilo se da je član [inlmath]ax^4[/inlmath] četvrti po redu ([inlmath]k=3[/inlmath]), dok se primenom „moje“ formule dobilo da je član [inlmath]ax^4[/inlmath] sedmi po redu ([inlmath]k=6[/inlmath]), ali to nema uticaja na tačnost rešenja u ovom zadatku, jer se ne gleda pozicija u razvoju, već eksponent člana u razvoju.

Kod zadataka sa zadatom pozicijom u razvoju tačnost rešenja će i te kako zavisiti od korišćenja ispravne formule.

Da, probao sam i tako, dobija se tacno resenje
Mene zanima samo jedna stvar [inlmath]ax^4[/inlmath] ovde je [inlmath]a[/inlmath] znacilo binomni koeficijent [inlmath]k+1[/inlmath] clana razvoja, a ja sam u pocetku smatrao da [inlmath]a[/inlmath] potice iz formule [inlmath]\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath]

Da, video sam da si to napisao, ali je to bilo u formi konstatacije, a ne u formi pitanja, pa nisam ni odgovorio.

Tačno, to [inlmath]a[/inlmath] iz [inlmath]ax^4[/inlmath] nema nikakve veze s ovim [inlmath]a[/inlmath] iz formule [inlmath]\left(a+b\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath].

Ako te buni, slobodno kao formulu za razvoj upotrebi [inlmath]\left(x+y\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}x^{n-k}y^k[/inlmath].

Slažem se sa svim napisanim, no da objasnim i svoju intuitivnu pretpostavku:

Neosporno je [inlmath]n=9[/inlmath].
Vidi se "iz aviona".

Potom razmišljam: Ako je to tako, kako da [inlmath]\sqrt[3]x[/inlmath] na neki stepen puta [inlmath]\sqrt{x}[/inlmath] na neki stepen da ceo broj u stepenu, a konkretno i zahtevano četvrti stepen?
Zar nije jasno da se treći koren diže na treći stepen? I dobijem čisto [inlmath]x[/inlmath]. Zar nije jasno da je ostao šesti stepen kao dopuna do devetog? I onda je šesti stepen korena iz [inlmath]x[/inlmath] zapravo [inlmath]x^3[/inlmath]. I onda dobijam [inlmath]x^4[/inlmath].
Ukupno.

desideri je napisao:Neosporno je [inlmath]n=9[/inlmath].
Vidi se "iz aviona".

Ja baš i ne vidim, pa ako može objašnjenje?
Da li si u glavi zamislio jednačinu [inlmath]1+n+\frac{n\left(n-1\right)}{2}=46[/inlmath] pa je isto tako u glavi i rešavao?

desideri je napisao:Potom razmišljam: Ako je to tako, kako da [inlmath]\sqrt[3]x[/inlmath] na neki stepen puta [inlmath]\sqrt{x}[/inlmath] na neki stepen da ceo broj u stepenu, a konkretno i zahtevano četvrti stepen?
Zar nije jasno da se treći koren diže na treći stepen? I dobijem čisto [inlmath]x[/inlmath].

Zašto bi morao na treći? Radi dobijanja celog broja u eksponentu prilikom stepenovanja [inlmath]\sqrt[3]x[/inlmath], isti se može dići i na šesti, i na deveti. Jedino što, ako bismo digli na šesti, tada bi ostao treći stepen kao dopuna do devetog, pa od kvadratnog korena ne bismo dobili ceo broj u eksponentu. Isto tako, da smo [inlmath]\sqrt[3]x[/inlmath] digli na deveti, od kvadratnog korena ne bi ostalo ništa (bio bi dignut na nulti), pa bismo dobili samo [inlmath]x^3[/inlmath] a to nije ono što smo tražili.
Ali onda bi valjalo sva ova tri slučaja diskutovati, i poslednja dva eliminisati, zar ne?