MATEMANIJA

Na fudbalskom turniru takmicenje se odrzava u [inlmath]m[/inlmath] grupa ([inlmath]m>1[/inlmath]) sa po [inlmath]2k[/inlmath] ekipa ([inlmath]k>1[/inlmath]) u svakoj grupi. U grupama ekipe igraju svaka sa svakom i prve dve ekipe iz svake grupe ulaze u finalnu grupu. U finalnoj grupi ekipe igraju svaka sa svakom, stim sto ekipe koje su se sastale u predtakmicenju ne igraju medjusobno novu utakmicu. Ako je na turniru igrano ukupno manje od [inlmath]115[/inlmath] utakmica i ako je taj broj utakmica neparan, odrediti [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]2k[/inlmath].

---

Ja sam probao ovako da uradim ovaj zadatak. (mislim da sam preopsirno napisao)
Prvo imamo predtakmicenje u kom [inlmath]2k[/inlmath] ekipa u grupi, i treba da odredimo koliko ima utakmica u tom delu takmicenja
[dispmath]{n\choose2}=\frac{n\left(n-1\right)}{2}[/dispmath]
[inlmath]n=2k\;\Rightarrow[/inlmath] broj utakmica u jednoj grupi je jednak [inlmath]k\left(2k-1\right)[/inlmath] , imamo [inlmath]m[/inlmath] grupa tako da ukupan broj utakmica u predtakmicenju iznosi [inlmath]mk\left(2k-1\right)[/inlmath]

Iz svake grupe prolazi [inlmath]2[/inlmath] ekipe, tj u finalnom takmicenju ucestvovace [inlmath]2m[/inlmath] ekipa, [inlmath]n=2m\;\Rightarrow\;m\left(2m-1\right)[/inlmath] broj utakmica u finalnom delu, ali jos treba da se oduzmu utakmice koje se nece odrzati (utakmice izmedju ekipa koje su se susretale u prethodnoj fazi takmicenja), tj u svakoj grupi te ekipe su odigrale jednu utakmicu medjusobno odakle sledi da je broj takvih utakmica [inlmath]m[/inlmath]

Konacan broj utakmica je jednak [inlmath]mk\left(2k-1\right)+m\left(2m-1\right)-m=m\bigl(k\left(2k-1\right)+2m-2\bigr)[/inlmath]
Ako vazi da je ukupan broj utakmica neparan i manji od [inlmath]115[/inlmath], odatle sledi da je [inlmath]m[/inlmath] neparan broj. Kada se malo sredi gore formula za ukupan broj utakmica dobija se da i [inlmath]k[/inlmath] mora biti neparan broj, [inlmath]k\left(2k-1\right)+2\left(m-1\right)[/inlmath]
Odavde sledi da minimalna vrednost za [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath] iznosi [inlmath]3[/inlmath]
Kada se ove minimalne vrednosti zamene u jednacinu za broj utakmica, dobija se [inlmath]57[/inlmath], sto ispunjava uslove u zadatku, sledeca potencijalna vrednost za [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] je [inlmath]5[/inlmath] ali kad se uvrsti u formulu za ukupan broj utakmica ([inlmath]k=3,m=5\;/\;k=5,m=3\;/\;k=5,m=5[/inlmath]) dobijaju se resenja veca od [inlmath]115[/inlmath].
Odakle sledi da je jedino resenje [inlmath]m=3[/inlmath] i [inlmath]k=3[/inlmath], tj [inlmath]2k=6[/inlmath]

---

Zanima me da li postoji neki laksi, jednostavniji nacin da se ovaj zadatak resi?

Hvala na ovom zadatku, kao i na detaljnom postupku i rešenju.

Što se tiče toga da l' je način rešavanja najkraći mogući – ja sam, pre nego što sam i pogledao tvoj postupak, uradio ovaj zadatak a zatim uporedio naše postupke – i identični su. Tako da ja za jednostavniji način ne znam.

Jedino bih primetio da si na samom kraju imao jedan suvišan deo – čim si utvrdio da se za vrednosti uređenih parova [inlmath]\left(k,m\right)=\left(3,5\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(k,m\right)=\left(5,3\right)[/inlmath] dobije ukupan broj odigranih utakmica veći od [inlmath]115[/inlmath], nije bilo potrebe da proveravaš i za [inlmath]\left(k,m\right)=\left(5,5\right)[/inlmath]. Broj odigranih utakmica predstavlja rastuću funkciju kako po [inlmath]k[/inlmath], tako i po [inlmath]m[/inlmath], tako da, koja god od te dve promenljive da se poveća (pri čemu druga ostaje nepromenjena), svakako će se povećati i vrednost funkcije. Iz toga možemo odmah zaključiti da će broj odigranih utakmica za [inlmath]\left(k,m\right)=\left(5,5\right)[/inlmath] biti veći od broja odigranih utakmica kada je [inlmath]\left(k,m\right)=\left(3,5\right)[/inlmath] ili [inlmath]\left(k,m\right)=\left(5,3\right)[/inlmath].