MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 30. jun 2015.
17. zadatak

Zbir binomnih koeficijenata drugog od pocetka i drugog od kraja clana razvoja binoma [inlmath]\left(\sqrt[5]5+\sqrt[3]3\right)^n,\;n\in\mathbb{N}[/inlmath], je [inlmath]4030[/inlmath]. Broj iracionalnih clanova u tom razvoju je: [inlmath]1881[/inlmath].

I sad odredim [inlmath]n[/inlmath], to nije problem. Ovde je [inlmath]n=2015[/inlmath], pa ce binom biti jednak:
[dispmath]\left(\sqrt[5]5+\sqrt[3]3\right)^{2015}={2015\choose k}5^{\large\frac{2015-k}{5}}3^{\large\frac{k}{3}}[/dispmath] I sad sam ja krenuo logikom da odredim broj racionalnih clanova, pa da njihov broj oduzmem od ukupnog broja clanova.
[dispmath]\frac{2015-k}{5}=p\qquad\frac{k}{3}=q\\\
\\\
k=2015-5p\qquad k=3q[/dispmath] Znaci [inlmath]k[/inlmath] mora biti deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], i izraz [inlmath]2015-k[/inlmath] deljiv sa [inlmath]5[/inlmath]. Takodje, zakljucujem da [inlmath]k[/inlmath] moze biti i parno i neparno...i sad dalje ne kapiram, tj. sta dalje.

Znam da je ovaj tip zadataka bio par puta, ali mi ne ide.

Iskreno nisam neki strucnjak al ja radim ovom logikom:
[inlmath]\left(5^{\frac{1}{5}}+3^{\frac{1}{3}}\right)^{2015}[/inlmath] , sad iracionalni clanovi su oni koji i posle stepenovanja ostaju pod korenom, znaci treba da odredis koliko clanova su racionalni i taj broj oduzems od ukupnog broja clanova koji iznosi [inlmath]n+1[/inlmath]. Konkretno u ovom zadatku stepen koji moze da skrati oba stepena je [inlmath]15[/inlmath]
[dispmath]\frac{n}{15}=\frac{2015}{15}=134+R[/dispmath]
dobijas [inlmath]134[/inlmath] racionalna clana, i na taj broj dodas prvi clan koji je uvek racionalan, odakle sledi da je broj racionalnih [inlmath]135[/inlmath].Odatle sledi da je broj iracionalnih clanova jednak [inlmath]2016-135=1881[/inlmath]
Verovatno nacin nije bas najispravniji.

Svakako da je ovo logicno razmisljanje i da dovodi do tacnog resenja - samo da neko potvrdi ispravnost ovog postupka u opstem slucaju i bice super.

EDIT: Mislim da si se ti vodio logikom koju je @kristinaaa pokazala u ovoj temi, mada nisam siguran. A kao sto se vidi, ona u opstem slucaju ne dovodi do tacnog resenja...jesam li u pravu?

Ilija je napisao:[dispmath]\frac{2015-k}{5}=p\qquad\frac{k}{3}=q[/dispmath]

u ovom koraku možeš primijetiti da [inlmath]k[/inlmath] mora biti djeljivo sa [inlmath]5[/inlmath] pošto je [inlmath]\frac{2015-k}{5}=p\;\Rightarrow\;403-\frac{k}{5}=p[/inlmath], a iz drugog slučaja imaš da [inlmath]k[/inlmath] mora biti djeljivo sa [inlmath]3[/inlmath], pa možemo zapisati [inlmath]k=15\cdot n[/inlmath] (pošto je broj koji je djeljiv sa [inlmath]3[/inlmath] i sa [inlmath]5[/inlmath] djeljiv i sa [inlmath]15[/inlmath])
i onda posmatraš koji je najmanji i najveći broj koji zadovoljava taj uslov na intervalu [inlmath]\left[0,2015\right][/inlmath] a to su
najmanji je [inlmath]0[/inlmath] za [inlmath]n=0[/inlmath]
a najveći je [inlmath]2010[/inlmath] za [inlmath]n=134[/inlmath]
Broj cijelih brojeva na intervalu [inlmath]\left[0,134\right][/inlmath] je [inlmath]135[/inlmath]

to je u suštini što je i daniel napisao ovdje i ovdje, ti si ovdje sad imao slučaj da odma možeš utvrditi sa kojim brojem [inlmath]k[/inlmath] mora biti djeljivo jer je [inlmath]2015[/inlmath] bilo djeljivo sa [inlmath]5[/inlmath], da si imao neku drugu vrijednost za [inlmath]n[/inlmath] (nije djeljiva sa [inlmath]5[/inlmath]) morao bi se tražiti uslov za [inlmath]k[/inlmath] kao što je to @daniel radio

Ovaj konkretan slučaj je malko jednostavniji od opšteg slučaja, jer smo ovde u izrazu [inlmath]\displaystyle\frac{2015-k}{5}[/inlmath] (koji treba da bude ceo broj) imali da je [inlmath]2015[/inlmath] već deljivo sa [inlmath]5[/inlmath], pa se odmah dobije da je, kao što je i bole napisao, [inlmath]k[/inlmath] deljivo sa [inlmath]5[/inlmath]. Da smo kojim slučajem imali da [inlmath]\displaystyle\frac{2016-k}{5}[/inlmath] treba da bude ceo broj (daleko verovatniji slučaj na prijemnom ove godine, budući da je broj [inlmath]2015[/inlmath] već... zastareo), tada bismo morali primeniti univerzalniji postupak:
[dispmath]\frac{2016-k}{5}=p\;\left(p\in\mathbb{Z}\right)\quad\Rightarrow\quad2016-k=5p\quad\Rightarrow\\
\Rightarrow\quad k=2016-5p=2015-5p+1=5\cdot403-5p+1=5\underbrace{\left(403-p\right)}_{r,\;r\in\mathbb{Z}}+1=5r+1[/dispmath]
Prema tome, [inlmath]k[/inlmath] tada ne bi bilo deljivo sa [inlmath]5[/inlmath], već bi bilo oblika [inlmath]5r+1[/inlmath], a to su brojevi [inlmath]1,6,11,16,21,\ldots[/inlmath] Naravno, pored ovog uslova, moralo bi biti deljivo i sa [inlmath]3[/inlmath], kao što je već pokazano. To jest, moralo bi biti oblika [inlmath]k=3m,\;m\in\mathbb{Z}[/inlmath], pa bismo onda imali [inlmath]3m=5r+1[/inlmath], a odatle:
[dispmath]m=\frac{5r+1}{3}=\frac{6r-\left(r-1\right)}{3}=2r-\frac{r-1}{3}[/dispmath]
Pošto [inlmath]m\in\mathbb{Z}[/inlmath], znači da mora biti i [inlmath]\displaystyle\frac{r-1}{3}\in\mathbb{Z}[/inlmath], tj. da [inlmath]r-1[/inlmath] mora biti deljivo sa [inlmath]3[/inlmath], što možemo zapisati kao [inlmath]r-1=3s,\;s\in\mathbb{Z}[/inlmath], tj. [inlmath]r=3s+1[/inlmath]. Zamenimo to u [inlmath]k[/inlmath]:
[dispmath]k=5r+1=5\left(3s+1\right)+1\\
\Rightarrow\quad\enclose{box}{k=15s+6}[/dispmath]
Uz ovaj uslov, obezbeđeno je da će i [inlmath]\displaystyle\frac{2016-k}{5}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle\frac{k}{3}[/inlmath] biti celi brojevi.
Naravno, pošto mora da važi [inlmath]0\le k\le n[/inlmath], tj. [inlmath]0\le k\le2016[/inlmath], vrednosti za [inlmath]k[/inlmath] koje će dati racionalne članove u razvoju biće [inlmath]6,21,36,\ldots,[/inlmath] pa do najveće vrednosti koja je [inlmath]\le2016[/inlmath], a to je u ovom slučaju [inlmath]2016[/inlmath].

Ilija je napisao:EDIT: Mislim da si se ti vodio logikom koju je @kristinaaa pokazala u ovoj temi, mada nisam siguran. A kao sto se vidi, ona u opstem slucaju ne dovodi do tacnog resenja...jesam li u pravu?

Ja sve do dana današnjeg ne mogu reći da sam sasvim skontao kristiniiin postupak, pa samim tim ne mogu garantovati ni da bi se primenom tog postupka uvek došlo do tačnog rešenja.

Imam problem sa ovim zadatkom, ako nije problem neka pomoc...
Zbir binomnih koeficijenata drugog od početka i drugog od kraja člana razvoja binoma [inlmath]\left(\sqrt[5]5+\sqrt[3]3\right)^n[/inlmath], [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath], je [inlmath]4030[/inlmath]. Broj iracionalnih članova u tom razvoju je:....

Dobijam da je [inlmath]n=2015[/inlmath], ali ne znam kako da dobijem ukupan broj iracionalnih resenja, hvala unapred

Ja imam svoj način rada za ovaj tipa zadataka za koji nisam 100% siguran da je pravilan, ali do sada me nikad nije iznevjerio.
Da bi član bio racionalan, [inlmath]k[/inlmath] mora biti djeljiv sa [inlmath]5[/inlmath] i sa [inlmath]3[/inlmath] (zato što imamo peti i kubni korijen). Znači, [inlmath]2015[/inlmath] dijelimo sa [inlmath]15[/inlmath] (da bi bio djeljiv sa oba prethodno navedena broja) i dobijamo [inlmath]134,33\ldots[/inlmath] To znači da imamo [inlmath]134[/inlmath] racionalna člana, što znači da su svi ostali iracionalni. Od [inlmath]2015[/inlmath] oduzimamo tih [inlmath]134[/inlmath] da bismo dobili broj iracionalnih članova, te dobijamo da istih ima [inlmath]1881[/inlmath].
Ponavljam, nisam siguran da je ovo ispravno, ali kad god sam ja radio na ovaj način dobio sam pravilno rješenje.

Da li si napisao formulu za razvoj stepena binoma? Odatle bi trebalo da uocis cime treba da bude deljivo [inlmath]k[/inlmath] kako bi ono bilo racionalan broj... A iracionalne ces lako dobiti kada vec dobijes racionalne...
Neka me ispravi neko ako gresim.
Nisam videla da je Milos u medjuvremenu odgovorio. Na taj nacin i ja uvek odredjujem.

Da bi ti proizvod bio racionalan, oba činioca moraju da ti budu racionalna. To mislim da je jasno. Prvi član binoma ti je [inlmath]\sqrt[5]5[/inlmath], i kada ga stepenuješ dobićeš racionalan broj samo ako je eksponent deljiv sa [inlmath]5[/inlmath]. Ako ti je lakše, posmatraj ovaj član kao [inlmath]5^{\frac{1}{5}}[/inlmath] koje u razvoju stepenuješ i treba da dobiješ celobrojni eksponent. Istom logikom posmatraš i drugi član, [inlmath]\sqrt[3]3=3^{\frac{1}{3}}[/inlmath]. I ovde, po sličnom principu ti treba eksponent koji je deljiv sa tri. Dakle, tražiš one članove razvoja kod kojih je eksponent prvog člana deljiv sa [inlmath]5[/inlmath] i u isto vreme eksponent drugog člana deljiv sa [inlmath]3[/inlmath] (pošto će tada oba člana biti racionalna). Znajući vezu između eksponenata u razvoju binomne formule, ovo ne bi trebalo da bude problem.

Imali smo taj zadatak ovde, možete pogledati.
Spojiću ovu temu s tom ranijom.

Daniel je napisao:Naravno, pošto mora da važi [inlmath]0\le k\le n[/inlmath], tj. [inlmath]0\le k\le2016[/inlmath], vrednosti za [inlmath]k[/inlmath] koje će dati racionalne članove u razvoju biće [inlmath]6,21,36,\ldots,[/inlmath] pa do najveće vrednosti koja je [inlmath]\le2016[/inlmath], a to je u ovom slučaju [inlmath]2016[/inlmath].

Da li moramo ručno da određujemo broj racionalnih brojeva, pa da oduzmemo od ukupnog broja da bismo dobili iracionalne ili? Moje pitanje se svodi na to, kako da iskoristimo uslov koji smo dobili?

Dobijeni uslov [inlmath]k=15s+6[/inlmath] ([inlmath]s\in\mathbb{N}[/inlmath]) iskoristimo tako što ga jednostavno uvrstimo u uslov [inlmath]0\le k\le2016[/inlmath], dobijemo [inlmath]0\le15s+6\le2016[/inlmath], nakon oduzimanja šestice od sve tri strane to postaje [inlmath]-6\le15s\le2010[/inlmath], umesto [inlmath]-6[/inlmath] možemo pisati nulu jer [inlmath]-6[/inlmath] nije deljiva sa [inlmath]15[/inlmath] a nula je prvi sledeći broj koji jeste, [inlmath]0\le15s\le2010[/inlmath], i onda deljenjem sve tri strane sa [inlmath]15[/inlmath], imamo [inlmath]0\le s\le134[/inlmath]. Odavde se vidi da [inlmath]s[/inlmath] (a samim tim i [inlmath]k[/inlmath]) može imati [inlmath]135[/inlmath] vrednosti.

Razumeo sam, hvala ti